سوال ۴

می‌خواهیم در یک جعبه‌‌ی مکعبی $n\times n\times n$ ، یک جسم سه بعدی نامعلوم را قرار بدهیم که:

دقیقاً از تعداد صحیحی مکعب $۱\times۱\times۱$ تشکیل شده باشد.
یک تکّه باشد؛ اگر یک نقطه از آن را گرفته و جسم را به سمت بالا بکشیم، به طور کامل بالا بیاید. فرض کنید دو مکعب کوچک( $۱\times۱\times۱$ ) حتی اگر در یک نقطه (مثلاً گوشه) با هم تماس داشته باشند، آن‌گاه به هم چسبیده‌اند.
اگر در جعبه را ببندیم و جعبه را تکان بدهیم، جسم در داخل آن ثابت بماند. می توانید فرض کنید اتّصالات جسم (حتی در گوشه‌ها) بسیار محکم هستند!

حداقّل حجم چنین جسمی چند واحد مکعب است؟

$۳n-۲$
$۳n-۳$
$۲n$
$۲n-۱$
$n$

پاسخ

گزینه‌ی (۵) درست است.

از آنجایی که می‌توانیم فرض کنیم مکعب‌ها در گوشه‌ها نیز اتصالات قوی برقرار خواهند کرد با در نظر گرفتن قطر اصلی مکعب که از $n$ مکعب $۱\times۱\times۱$ تشکیل شده است، می‌توانیم جسم مورد نظر را بسازیم. پس جواب صحیح گزینه ه خواهد بود.