سوال ۳۱
۱۰ ردیف ۳ تایی از لامپ‌ها داریم. هر لامپ مطابق شکل به تعدادی از لامپهای ردیف پایینی‌اش وصل شده است. در ابتدا همه‌ی لامپ‌ها خاموش‌اند. هر بار می‌توان یکی از لامپهای ردیف اوّل را تغییر وضعیت داد( لامپ روشن را خاموش کنیم یا برعکس). اگر لامپی تغییر وضعیت بدهد، تمام لامپهای متصل به آن لامپ در ردیف پایینی‌اش، تغییر وضعیت می‌دهند. برای مثال، اگر وضعیت لامپ اوّل از طبقه‌ی اوّل را تغییر دهیم، وضعیت لامپهای اوّل و دوم ردیف دوم عوض می‌شوند. سپس وضعیت لامپ سوم از طبقه سوم تغییر خواهد کرد، ولی وضعیت‌های لامپهای اوّل و دوم از طبقه سوم تغییری نخواهند کرد زیرا یک بار به وسیله‌ی لامپ اوّل طبقه‌ی دوم و یک بار به وسیله‌ی لامپ دوم طبقه دوم تغییر می‌کنند. چندتا از دنباله‌های زیر می‌توانند وضعیت لامپهای ردیف ۱۰اُم پس از اعمال تغییراتی در ردیف اوّل باشند؟
• لامپ اوّل روشن، لامپ دوم روشن، لامپ سوم روشن.
• لامپ اوّل خاموش، لامپ دوم روشن، لامپ سوم روشن.
• لامپ اوّل خاموش، لامپ دوم روشن، لامپ سوم خاموش.
• لامپ اوّل روشن، لامپ دوم روشن، لامپ سوم خاموش.
- ۰
- ۱
- ۲
- ۳
- ۴
پاسخ
گزینه‌ی (۵) درست است.
در صورتی که وضعیت لامپهای ردیف اول را مشخص کنیم، بقیه ردیف‌ها وضعیت یکتایی خواهند داشت که از یک الگو تبعیت می‌کند. کافیست که به ازای حالات مختلف الگوها را بیابیم. به ازای هر ردیف هشت حالت مختلف از تغییرات وجود دارد. دنباله‌ی تغییرات لامپ‌ها در طبقات مختلف چهار حالت مختلف هستند.
در هر الگو پس از رسیدن به حالت نهایی، الگو دوباره تکرار می‌شود (نقطه نماد خاموشی و عدد نماد روشنی است). الگوی اول:
$$1..$$
$$12.$$
$$..3$$
$$.23$$
$$1..$$
الگوی دوم:
$$.2.$$
$$123$$
$$.2.$$
الگوی سوم:
$$. . .$$
الگوی چهارم:
$$1 . 3$$
با این روند تمام حالات برای ردیف دهم ممکن خواهد بود. پس پاسخ برابر هر چهار حالت داده شده است.