سوال ۲۸
مهدی و مرتضی روی یک جدول $۵\times۵$ «فوزبازی» می‌کنند.این بازی به این صورت است که در ابتدا در خانه‌ی وسط جدول یک لوبیا قرار دارد و هرکس در نوبت خودش در یکی از خانه‌های خالی جدول یک لوبیا قرار می‌دهد. اولین کسی که کاری کند که سه لوبیا در سه خانه‌ی متوالی روی یک سطر، ستون یا قطر قرار بگیرند، برنده بازی می‌شود. ازآنجا که این بازی بسیار پرهیجان است، حسن برای این بازی ۱۰۰ تومان جایزه تعیین کرده است که درصورتی که در پایان بازی، $k$ لوبیا در خانه‌های جدول قرار داشته باشد، $k$ تومان به بازنده و $۱۰۰- k$ تومان به برنده می‌دهد! اگر مهدی اولین لوبیا را (بعد از لوبیای اولیه‌ی خانه‌ی وسط) روی جدول قرار بدهد و هر دو بازی‌کن بهترین بازی‌شان را انجام بدهند، برنده و حداکثر جایزه‌ی وی کدام گزینه است؟
- مرتضی، ۸۹
- مهدی، ۹۲
- مهدی، ۹۴
- مرتضی، ۹۳
- هیچ‌کدام
پاسخ
گزینه (۴) درست است.
اگر خانه‌های جدول را مطابق شکل مقابل از ۱ تا ۲۵ شماره‌گذاری کنیم٬ آن‌گاه با وجود یک لوبیا در خانه شماره ۱۳ فقط خانه‌های ۲۲٬۲۰٬۱۶٬۱۰٬۶٬۴٬۲ و ۲۴ امن هستند؛ یعنی اگر فردی در خانه‌ای غیر از شماره‌های فوق لوبیایی را قرار دهد فرد دیگر برنده خواهد شد. در بین شماره‌های فوق نیز دو شماره ۲ و ۴ با یک‌دیگر٬ ۶ و ۱۵ با یک‌دیگر٬ ۱۰ و ۲۰ با یک‌دیگر و بالاخره ۲۲ و ۲۴ با یک‌دیگر وابستگی دارند٬ به این صورت که اگر هر دو شماره وابسته به‌هم لوبیایی اختصاص داده شود٬ نفر بعدی می‌تواند با اختصاص دادن لوبیایی به خانه واقع در بین آن دو خانه وابسته٬ برنده می‌شود. بنابراین بهترین حرکات ممکن آن است که مهدی خانه ۱۰، مرتضی خانه ۴، مهدی خانه ۶ و بالاخره مرتضی خانه ۲۲ را انتخاب کند. در حرکت بعدی مهدی هر حرکتی را انجام دهد حداقل بایک لوبیا در یک ردیف ستونی٬ سطری و یا قطری قرار خواهد گرفت که مرتضی را در وضعیت برد قرار می‌دهد. در حرکت آخر مرتضی با قرار دادن لوبیا در خانه مورد نظر برنده می‌شود.