سوال ۳۱

به چند حالت می‌توان یک جدول $۳ \times ۳$ را با اعداد ۰ و ۱ پر کرد که تعداد ۱های موجود در همسایه‌های هر خانه٬ فرد باشد. دو خانه همسایه‌ی یکدیگرند اگر در یک ضلع یا یک گوشه مشترک باشند. پس تعداد همسایه‌ها حداقل ۳ و حداکثر ۸تاست. هیچ خانه‌ای همسایه‌ی خودش محسوب نمی‌شود.

  1. ۰
  2. ۱
  3. ۲
  4. ۸
  5. ۳۲

پاسخ

گزینه (؟) درست است.

خانه‌های جدول را مطابق شکل نام‌گذاری می‌کنیم(ف:فرد و ز:زوج):

$b+e+d=b+e+f=ف \Rightarrow d=f$

$b+e+d=d+e+h=ف \Rightarrow b=h$

$a+d+e+f+c=g+d+e+f+i=ف$

$\Rightarrow (e مجموع اعداد همسایه)=a+b+c+d+f+g+h+i=2(a+c+b+d)=ز$

پس پر کردن خانه‌های جدول به‌صورت مطلوب ناممکن است.