سوال ۲۶

گزینه (؟) درست است.

فرض می‌کنیم $x$ توانی از ۲ به صورت $x=2^t$ باشد در این صورت اعداد از ۱ تا ۱۰۲۳ را به $\frac{1024}{x}$ دسته $x$ عضوی تقسیم می‌کنیم(دسته اول ($x-1$) عضوی است). در هر دسته به تعداد $1+2+3+...+(x-1)$ یعنی $\frac{x(x-1)}{2}$ سکه«۱» تورویی وجود دارد که تعداد کل آن‌ها $\frac{1024}{2}\times \frac{x(x-1)}{2}$ می‌شود. هر یک از اعضای دسته دوم شامل ۱ سکه $x$ تورویی٬ هر یک از اعضا دسته سوم شامل ۲ سکه $x$ تورویی٬…و بالاخره هر یک از اعضای دسته $\frac{1024}{x}$ شامل $(\frac{1024}{x}-1)$ سکه $x$ تورویی می‌باشند که تعداد کل آن‌ها $(1+2+3+...+(\frac{1024}{x}-1))$ یا $512\frac{1024}{x}-1$ می‌باشد که با احتساب $\frac{1024}{x}$ سکه $x$ تورویی مربوط به خود ۱۰۲۴ ریال٬ تعداد کل سکه‌ها به شکل زیر به‌دست می‌آید:

$m=\frac{1024}{x} \times \frac{x(x-1)}{2} + 512(\frac{1024}{x}-1) + \frac{1024}{x}=512(x-2+ \frac{1026}{x})$ حاصل عبارت قبل به ازای ۱۲۸٬۳۲٬۲ و ۵۱۲ برای $x$ برابر ۶۸۶۱۶٬۳۱۷۷۶٬۲۶۲۶۵۶ و ۲۶۲۱۴۶ می‌باشد که به ازای ۳۲ برای $x$ مینیمم است.

اگر $x$ برابر ۱۰ باشد٬ آن‌گاه تعداد سکه‌های ۱ تورویی برابر $102\times(1+2+3+...+9)+(1+2+3+4)$ یعنی ۴۶۰۰ می‌شود٬ تعداد سکه‌های ۱۰ تورویی نیز برابر $10\times(1+2+3...+101)+5\times102$ یعنی ۵۲۰۲۰ می‌باشد که در کل٬ تعداد همه سکه‌ها برابر ۵۶۶۲۰ می‌شود.