سوال ۱۱

هادی و کاوه مشغول بازی هستند. بازی به این صورت است که هر نفر در نوبت خود یکی از اعداد ۱ تا ۹ را که تاکنون نوشته نشده در یکی از خانه‌های خالی جدول می‌نویسد. این کار ادامه می‌یابد تا جدول پر شود. در انتها٬ ۴ عدد که حاصل‌ضرب‌های ۳ عدد سطر وسط٬ ۳ عدد ستون وسط و ۳ عدد روی هر قطر مربع هستند را حساب می‌کنند و این ۴ حاصل‌ضرب را با هم جمع می‌کنند. کاوه می‌خواهد این مجموع را زیاد و هادی می‌خواهد این مجموع را کم کند. برای مثال این مجموع برای جدول روبه‌رو برابر است با:

$(8 \times 9 \times 7)+(6 \times 9 \times 5)+(1 \times 9 \times 2)+(4 \times 9 \times 3)= 504 +270+ 18+ 108= 900$

فرض کنید هادی و کاوه هر دو به بهترین نحو ممکن بازی می‌کنند و کاوه شروع‌کننده‌ی بازی است. کدام یک از گزینه‌های زیر صحیح است؟

  1. مجموع نهایی بین ۲۰۰ تا ۴۰۰ است.
  2. مجموع نهایی بین ۴۰۱ تا ۶۰۰ است.
  3. مجموع نهایی بین ۶۰۱ تا ۸۰۰ است.
  4. مجموع نهایی بزرگ‌تر از ۸۰۰ است.
  5. اطلاعات برای تعیین محدوده‌ی مجموع نهایی کافی نیست.

پاسخ

گزینه (؟) درست است.

چون خانه وسط در تمام چهار پرانتز تکرار می‌شود پس برای بیشینه شدن آن حاصل٬ لازم است آن خانه با عدد ۹ پر شود. اگر ۸ عدد دیگر را به چهار دسته {۱٬۲}٬{۴٬۳}٬{۶٬۵} و {۸٬۷} تقسیم کنیم آن‌گاه کاوه می‌تواند درهر مرحله با توجه به عملکرد هادی٬ در خانه مقابل خانه‌ای که هادی عدد $x$ را قرار داده است٬ هم‌ دسته $x$ را قرار دهد که در این صورت عدد به‌دست آمده برابر ۹۰۰ خواهد شد.