سؤال ۳۸
بهداد مشغول انجام بازی «دامبلدور» است. این بازی به این صورت انجام می‌شود: ۷ سنگ با شماره‌های ۱ تا ۷ به صورت زیر قرار دارند. در حرکت $i$ام بازی، بهداد به صورت یک-پا،$i-۱$ سنگ را در جهت ساعت‌گرد رد کرده و به صورت جفت-پا روی سنگ بعد می‌پرد و می‌ایستد. برای مثال بهداد در شروع بازی روی سنگ ۱ است. او در حرکت اول جفت-پا روی سنگ ۲ می‌پرد. در حرکت دوم یک-پا روی سنگ ۳ پریده و سپس جفت پا روی سنگ ۴ می‌پرد.
در حرکت سوم، یک-پا روی سنگ‌های ۵ و ۶ پریده و سپس جفت-پا روی سنگ ۷ می‌پرد و بالاخره، در حرکت چهارم، به صورت یک-پا روی سنگ¬های ۱، ۲، و ۳ می‌پرد و روی سنگ ۴ به صورت جفت-پا می‌ایستد. آیا می‌توانید مشخص کنید بهداد پس از حرکت ۱۳۸۱ام روی کدام سنگ خواهد بود؟
- ۱
- ۲ یا ۳
- ۴
- ۵ یا ۶
- ۷
پاسخ
گزینه (۳) درست است.
اگر روی سنگ $k$ام باشیم و حرکت بعدی حرکت $m$ام باشد٬ با احتساب سنگی که به صورت جفت پا به روی آن پریده می‌شود مجموعا $m$ شماره طی می‌شود. بنابراین بعد از حرکت ۱۳۸۱ مجموعا$1+1+2+3...+1381$ یعنی ۹۵۴۲۷۲ شماره طی می‌شود و بعد از آن حرکت بر روی شماره ۹۵۴۲۷۲ قرار خواهیم داشت که اگر آن عدد را بر ۷ تقسیم کنیم باقی‌مانده ۴ می‌آورد به این معنا که در آخرین حرکت به صورت جفت‌پا به روی سنگ شماره ۴ پریده شده است. لازم به ذکر است که حرکت اول از روی سنگ شماره ۱ بوده است٬ بنابراین به مجموع اعداد از ۱ تا ۱۳۸۱ عدد ۱ اضافه شده است.