دو تابع $A$ و $B$ به صورت زیر بر روی اعداد طبیعی تعریف شده‌اند.
$$A(n) =
\begin{cases}
1 & \text{$n=1$,} \\
B(n+1)-1 & \text{$1\lt n$}
\end{cases}$$
$$B(n) =
\begin{cases}
1 & \text{$n \le 2$,} \\
A(n-2)+2 & \text{$2\lt n$}
\end{cases}$$
مقدارهای
$A(۱۳۸۱)$ و $B(۲۰۰۳)$ چه‌قدرند؟
پاسخ
گزینه (۱) درست است.
$$A(n) =B(n+1)-1 \Rightarrow A(n)=[A(n-1)+2]-1=A(n-1)+1$$
یعنی به ازای $n\geq2$ حاصل $A(n)$ از عدد قبلی خود ۱ واحد بیش‌تر است و چون $A(2)=2$، بنابراین برابری $A(n)=n$ همیشه برقرار است.
$$B(n) = A(n-2)+2 \Rightarrow B(n) =[B(n-1)-1]+2=B(n-1)+1$$
یعنی به ازای $n\geq3$ حاصل $B(n)$ از عدد قبلی خود بیش‌تر است وچون $B(3)=3$، بنابراین برابری $B(n)=n$ به ازای $n\geq3$ همیشه برقرار است.