====== سوال ۸ ======




کلاه‌قرمزی یک جدول $10 \times 10$ دارد که سطر‌ها و ستون‌های آن از ۱ تا ۱۰ شماره‌گذاری شده‌اند و در هر خانه‌ی آن دقیقاً یک سوراخ وجود دارد. بچه‌ی فامیل دور که ۸ تیله دارد، این جدول را پیدا کرده است. او به ازای هر تیله، یکی از خانه‌های جدول را به صورت تصادفی با احتمال یکسان انتخاب می‌کند و تیله را در سوراخ آن خانه می‌اندازد
(امکان دارد در سوراخ یک خانه، چندین تیله قرار بگیرد). حال اگر تعداد تیله‌های واقع در سوراخ خانه‌ی تقاطع سطر $i$اُم و ستون $j$اُم را با $c_{i,j}$ نمایش دهیم، زیبایی جدول با فرمول زیر محاسبه می‌شود:


$$\sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} i \times j \times (c_{i,j})^2$$

امید ریاضی زیبایی جدول پس از انداختن ۸ تیله چه‌قدر است؟

  - $\frac{8667}{50}$
  - $\frac{12947}{50}$
  - $\frac{16767}{100}$
  - ۱۹۳۶
  - $\frac{25047}{100}$




<راهنمایی>
می‌دانیم که
$(c_{i,j})^2=2 {c_{i,j} \choose 2} + c_{i,j}$.
این تساوی را در فرمول زیبایی جدول جایگزین کنید و سپس به محاسبه‌ی امید ریاضی جدول بپردازید.
</راهنمایی>

<راهنمایی>
امید ریاضی قرار گرفتن یک توپ در خانه $i,j$ از جدول چند است؟

امید ریاضی قرار گرفتن دو توپ در خانه $i,j$ از جدول چند است؟

با توجه به خواص امید ریاضی، این مقادير را در محاسبه‌ی امید ریاضی زیبایی جدول استفاده کنید.
</راهنمایی>



  * [[سوال ۷|سوال قبل]]
  * [[سوال ۹|سوال بعد]]