====== سوال ۱۳ ======


به یک مجموعه از اعداد
**شکننده**
گوییم، اگر بتوان اعداد آن را به دو مجموعه افراز کرد، طوری که
مجموع اعداد آن‌ها برابر باشد. چند تا از مجموعه‌های زیر شکننده هستند؟
 $$A = \{1, 2, \ldots, 100\} \qquad B = \{2, 4, \ldots, 100\} \qquad C = \{1, 3, \ldots, 99 \} \qquad \ D = \{\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{100}\}$$




  - ۰
  - ۱
  - ۲
  - ۳
  - ۴




<پاسخ>
 گزینه‌ی ۳ درست است.



  * مجموعه‌ی $A$ شکننده است. اعداد به صورت $4k+1$ و $4k$ را در یک دسته و بقیه‌ی اعداد را در دسته‌ی دیگر می‌گذاریم.
  * مجموعه‌ی $B$ شکننده نیست. فرض کنید مجموعه‌ی $B$ به دو دسته‌ی $X$ و $Y$ تقسیم شود. در این صورت اگر تمام اعداد $X$ و $Y$ را تقسیم بر دو کنیم، باز هم مجموع $X$  و $Y$ یکسان می‌ماند. در نتیجه باید مجموعه‌ی $\{1, 2, \ldots, 50\}$ هم شکننده باشد، در حالی که مجموع اعداد آن فرد است و این امر ممکن نیست.
  * مجموعه‌ی $C$ شکننده است. می‌توانیم آن را به دو دسته‌ی $$X = \{1, 3, 5, 9\} \cup \{13, 19, 21, 27, \ldots, 93, 99\}$$ و $$Y = \{7, 11\} \cup \{15, 17, 23, 25, \ldots, 95, 97\}$$ افراز کنیم.
  * مجموعه‌ی $D$ شکننده نیست. فرض کنید مجموعه‌ی $D$ به دو دسته‌ی $X$ و $Y$ تقسیم شود. ک.م.م اعداد ۱ تا ۱۰۰ را $L$ در نظر بگیرید. همه‌ی اعداد $X$ و  $Y$ را در $L$ ضرب کنید. تمام اعداد  به جز $\frac{1}{64}$ پس از این عمل زوج می‌شوند و تنها یک عدد فرد ($\frac{L}{64}$) به وجود می‌آید. پس مجموع یکی از $X$ و $Y$ زوج و دیگری فرد می‌شود که تناقض است.


</پاسخ>

  * [[سوال ۱۲|سوال قبل]]
  * [[سوال ۱۴|سوال بعد]]