====== سوال ۱۲ ======


شکل زیر یک پنج‌ضلعی منتظم به همراه یک نقطه در مرکز آن است:

{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۸:untitled4.png |}}


می‌خواهیم بین برخی از شش نقطه‌ی شکل، پاره‌خط‌هایی بکشیم، طوری که شرایط زیر برقرار باشد:


  * هیچ دو پاره‌خطی هم‌دیگر را قطع نکنند (مگر در خود نقاط شکل).
  * سطح داخل شکل به تعدادی مثلث افراز شود، طوری که هر کدام از نقاط شکل، رأس حداقل یکی از مثلث‌ها باشند. 

شکل نهایی چند حالت دارد؟

  - ۱
  - ۱۰
  - ۱۲
  - ۱۱
  - ۵


<پاسخ>
 گزینه‌ی ۴ درست است.


به قطری از پنج‌ضلعی که دو رأس نامجاور را به هم وصل کند، 
\textbf{قطرک}
می‌گوییم. با حالت‌بندی بر روی تعداد قطرک‌ها داریم:


  * اگر قطرک نداشته باشیم، تمام رأس‌ها باید به رأس وسط وصل شوند که یک حالت دارد.
  * اگر یک قطرک داشته باشیم، رأس وسط درون یک چهارضلعی قرار می‌گیرد و باید به تمام چهار رأس آن وصل شود. انتخاب قطرک گفته شده پنج حالت دارد.
  * اگر دو قطرک داشته باشیم، باید این دو قطرک در یک رأس مشترک باشند که پنج حالت برای انتخاب‌شان وجود دارد. در ادامه رأس وسط درون یک مثلث قرار می‌گیرد و باید به سه رأس آن وصل شود.

پس در کل
$5+5+1=11$
حالت داریم.

</پاسخ>

  * [[سوال ۱۱|سوال قبل]]
  * [[سوال ۱۳|سوال بعد]]