====== سوال ۸ ======



خط  یک مترو اصفهان  دارای ۱۱ ایستگاه با شماره‌های
۰، ۱، $\ldots$ 
و ۱۰
است. مترو از ایستگاه ۰ شروع کرده و در ایستگاه ۱۰ کار خود را تمام می‌کند. در یک روز خلوت زمستانی، مترو بدون مسافر شروع به حرکت کرده است. در هر یک از ایستگاه‌های
۰، ۱، $\ldots$ 
و ۹
دقیقن یک مسافر جدید وارد مترو می‌شود. پس از رسیدن به هر ایستگاه (به جز ایستگاه پایانی)، هر نفر مستقل از بقیه به احتمال
$\frac{1}{2}$
پیاده می‌شود. توجه کنید هیچ کس در همان ایستگاهی که سوار شده، پیاده نمی‌شود! امید ریاضی تعداد کسانی که به ایستگاه پایانی (۱۰) می‌رسند، چیست؟

  - ۴
  - ۲
  - $\frac{511}{256}$
  - $\frac{1023}{512}$
  - $\frac{9}{2}$

<راهنمایی>
این مسئله نیاز به اطّلاعاتی در مورد متغیرهای تصادفی و امید ریاضی دارد. در صورتی که با این مفاهیم آشنا نیستید، قبل از خواندن راهنمایی‌ها،  آن‌ها را مطالعه کنید 
</راهنمایی>

<راهنمایی>
فردی که در ایستگاه اول سوار قطار می‌شود، به چه احتمالی به ایستگاه پایانی می‌رسد؟
</راهنمایی>
<راهنمایی>
در راستای راهنمایی قبل، این فرد می‌بایست در هیچ یک از ۹ ایستگاه میانی پیاده نشود که احتمال آن 
$\frac{1}{2^9}$
است.
</راهنمایی>

<راهنمایی>
حال که قصد داریم امید ریاضی تعداد افرادی که به ایستگاه آخر رسیده‌اند را محاسبه کنیم، متغیر تصادفی مورد نظر را می‌توانیم صفر و یک بنا بر رسیدن یا نرسیدن یک فرد در نظر گیریم.
</راهنمایی>

<راهنمایی>
برای تمام افراد احتمال رسیدن به آخرین ایستگاه را مانند راهنمایی‌های پیشین محاسبه کنید. با مخرج مشترک گرفتن می‌توانید این فرآیند را راحت‌تر انجام دهید.
</راهنمایی>


<پاسخ>
 گزینه‌ی ۴ درست است.


این مسئله نیاز به اطّلاعاتی در مورد متغیرهای تصادفی و امید ریاضی دارد. در صورتی که با این مفاهیم آشنا نیستید، قبل از خواندن راه حل،  آن‌ها را مطالعه کنید (البته مسئله راه حل بدون استفده از اطّلاعات خاص هم دارد، امّا طولانی‌تر است).

به ازای  هر فرد $i$ (فردی که از ایستگاه $i$ ام وارد می‌شود)،  متغیّر تصادفی 
$I_i$
را تعریف می‌کنیم که برابر ۱ است، اگر فرد $i$ به ایستگاه پایانی برسد و در غیر این صورت برابر ۰ است. امید ریاضی $I_i$ برابر احتمال رسیدن فرد $i$ به ایستگاه پایانی یا همان
$\frac{1}{2^{9-i}}$
می‌باشد. امید ریاضی جمع چند متغیر تصادفی برابر با جمع امید ریاضی تک تک آن‌هاست؛ پس امید ریاضی خواسته شده برابر است با:
$$E(X) = E(\sum I_i) = \sum E(I_i) = \sum_{i=0}^9 \frac{1}{2^{9-i}} = 2 - \frac{1}{2^9} = \frac{1023}{512}$$

</پاسخ>

  * [[سوال ۷|سوال قبل]]
  * [[سوال ۹|سوال بعد]]