======سوال ۲۰======

{{:سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۰:p.png?nolink&200 |}}

حداکثر چندتا از نقطه‌های توپر در شکل مقابل را می‌توان با سفید رنگ کرد تا نقطه‌های سفید رئوس٬ یک مثلث متساوی‌الاضلاع را تشکیل __ندهند.__


  - ۴
  - ۵
  - ۶
  - ۷
  - ۸
<پاسخ>

گزینه (۳) درست است.


توجه داشته باشید که مثلث متساوی‌الاضلاع می‌تواند به هر طول ضلعی و هر زاویه‌ای تشکیل شود و لزومی ندارد که موازی خطوط باشد.


می‌دانیم از هر مثلث به طول یک در گوشه‌های مثلث بزرگ، یک نقطه نباید انتخاب شود. در نتیجه جواب حداکثر ۷ خواهد بود.


ثابت می‌کنیم جواب برابر ۷ نیز نمی‌تواند باشد: فرض کنید ۷ نقطه انتخاب کرده‌ایم. طبق فرض بالا نقطه‌ی وسط مثلث انتخاب شده است. حال ۶ نقطه‌ی اطراف آن را در نظر بگیرید. اگر ۴ نقطه در بین آن‌ها انتخاب شده باشد دو نقطه یافت می‌شود که مجاور باشند و با نقطه‌ی وسط تشکیل مثلث متساوی‌الاضلاع می‌دهند. پس حداکثر ۳ نقطه از بین آن‌ها انتخاب شده است. حال از ۳ نقطه‌ی گوشه نیز باید حداکثر دو نقطه انتخاب شود. در نتیجه حداکثر ۶ نقطه انتخاب شد.


برای ۶ نقطه نیز مثال زیر وجود دارد:




{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۰:20.png |}}


</پاسخ>
  * [[سوال ۲۱|سوال بعد]]
  * [[سوال ۱۹|سوال قبل]]