======سوال ۱۷======
پس از امتحانات پایان نیم‌سال٬ نمرات فیزیک و ریاضی هر یک از ۳۰ دانش‌آموز کلاس «دوم ب» معلوم شد. آقای هاشمی که معلّم فیزیک بود٬ رتبه‌های ۱ تا ۳۰ را در درس فیزیک اعلام کرد. آقای کاظمی٬ معلم ریاضی آن‌ها نیز رتبه‌های ۱ تا ۳۰ را در درس ریاضی اعلام کرد. هیچ دو دانش‌اموزی٬ در یک درس نمره‌ی یکسان نگرفته بودند. 

فردای آن روز قرار شد رتبه‌بندی کل را با استفاده از میانگین (نصف مجموع) دو رتبه‌ای که در دروس ریاضی و فیزیک کسب شده٬ اعلام کنند. در این رتبه‌بندی٬ رتبه‌ی کل دانش‌آموز $x$٬ که میانگین دو رتبه‌اش در ریاضی و فیزیک $S$ است٬ برابر است با: تعداد دانش‌آموزانی که میانگین دو رتبه‌شان از $S$ اکیداً کم‌تر است٬ به اضافه‌ی یک.

سروش در هر یک از دو درس رتبه‌ی ۹ آورده است (نهمین بالاترین نمره). بهترین و بدترین رتبه کلی که سروش ممکن است به دست بیاورد٬ کدام است؟

  - بهترین ۱ و بدترین ۱۶
  - بهترین ۱ و بدترین ۱۷
  - بهترین ۱ و بدترین ۱۸
  - بهترین ۹ و بدترین ۱۷
  - بهترین ۹ و بدترین ۱۸


<پاسخ>

گزینه‌ی (۱) درست است. 
اولا دقت کنید که اگر کسی رتبه‌ی نهاییش بهتر از سروش باشد این شخص باید حداقل در یکی از دروس بهتر از او باشد. پس رتبه‌ی سروش نمی تواند بدتر از ۲*۸+۱ یعنی ۱۷ شود.
 از طرفی خود رتبه‌ی ۱۷ نیز برای سروش ممکن نیست، زیرا در این حالت (طبق استدلال بالا) الف) رتبه‌ی نهایی ۸ نفر اول درس ریاضی باید از سروش بهتر باشد، و ب) هیچ یک از این ۸ نفر نباید در فیزیک رتبه‌ای بهتر از سروش داشته باشد. پس یکی از این افراد در فیزیک رتبه‌ای بدتر از ۱۶ دارد پس میانگین رتبه‌اش حداقل ۹ خواهد بود که تناقض است!





دوما در این صورت میانگین رتبه‌ی همه‌ی دانش آموزان از 9 بیش‌تر می‌شود و سروش اول می‌شود:


{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۱۸:سوالل_17.png |}}








</پاسخ>


  * [[سوال ۱۸|سوال بعد]]
  * [[سوال ۱۶|سوال قبل]]