======سوال ۱۶======

چند جدول $۳\times۳$ از اعداد ۰ تا ۸ داریم که هر دو خانه‌ی مجاور (دارای یک ضلع مشترک) در آن دقیقاً یکی از دو خاصیت زیر را داشته باشند:

{{:سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۱۷:i.png?nolink |}}

•	باقی‌مانده‌ی تقسیم اعداد آن دو خانه بر ۳ برابر باشد.

•	خارج‌قسمت تقسیم اعداد آن دو خانه بر ۳ برابر باشد.

یکی از این جدول‌ها در شکل نشان داده شده است.
  - ۶
  - ۱۸
  - ۳۶
  - ۷۲
  - ۱۴۴
<پاسخ>

گزینه‌ی (۴) درست است.


اگر عدد وسط $3k+x$ باشد 4 خانه مجاور آن’3k+x و”3k+x و3k’+x و3k”+xاست.’3k+xو ”3k+x ب به جز همین 3k+x  همسایه مشترک دیگری نمی‌توانند داشته باشند (چرا؟) همینطور 3k’+xو 3k”+x همسایه مشترک دیگری ندارند.’3k+x  و 3k’+x دو همسایه دارند که یکی همان3k+x و دیگری’3k’+xاست. به همین ترتیب 3 جفت دیگر فقط یک همسایه مشترک دیگر دارند. پس به 4 حالت ’3k+x را در یکی از 4 خانه مجاور خانه وسط می‌گذاریم و ’’3k+x را به اجبار در خانه‌ی مقابل آن می‌گذاریم و برای دو عدد دیگر 2 حالت داریم.اعداد 4 گوشه نیز یکتا تعیین می‌شوند. 


پس به ازای هر عددی که وسط باشد $4×2$ حالت وجود دارد و در کل 72 حالت داریم.

</پاسخ>


  * [[سوال ۱۷|سوال بعد]]
  * [[سوال ۱۵|سوال قبل]]