====== سؤال ۲۰======

{{:سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۱۳:22.png?nolink |}}
طبق قواعد زیر هر شکل از شکل قبل به این صورت ساخته می‌شود:

•	هر مربع تبدیل به دایره  می‌شود.

•	هر مثلث تبدیل به مربع می‌شود.

•	در پایان، به ازاء هر دایره (حتی دایره‌های جدید)، یک مثلث جدید می‌کشیم و به آن دایره وصل می‌کنیم. در بالا چهار شکل اول این سری را نشان داده‌ایم. شکل یازدهم چند تا مثلث دارد؟
  - ۸۹
  - ۹۰
  - ۱۲۱
  - ۱۲۳
  - ۱۲۵
<پاسخ>
گزینه (۴) درست است.


تعداد دایره‌ها٬ مثلث‌ها و مربع‌های موجود در مرحله $n$ام را به ترتیب با $S(n)،D(n)$ و $R(n)$ نمایش می‌دهیم که دراین صورت خواهیم داشت:


$$D(1)=1 , S(1)=2 ,R(1)=0$$


$$D(n)=D(n-1) + R(n-1)$$


$$R(n)=S(n-1)$$


$$S(n)=D(n)$$


بنابراین به جواب زیر خواهیم رسید:


{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۱۳:2013.png |}}


با توجه به جدول فوق معلوم می‌شود که در انتهای مرحله ۱۱ تعداد مثلث‌ها برابر ۱۲۳ می‌باشد. 


</پاسخ>

  * [[سوال ۲۱|سوال بعد]]
  * [[سوال ۱۹|سوال قبل]]