====== سوال ۲۹ ======

تعداد زیادی کارت مقوایی ‎$3\times 3$‎ که با خط‌های افقی و عمودی به مربع‌های ‎$1\times 1$‎ 
تقسیم شده است، به همراه یک میز بزرگ در اختیار داریم. در هر ‎«مرحله»‎ می‌توانیم تعدادی 
کارت را هم‌زمان روی میز قراردهیم به‌نحوی‌که این دو شرط رعایت شوند:

  * کارت‌هایی را که در یک مرحله روی میز می‌گذاریم نباید هیچ قسمتی از یک‌دیگر را بپوشانند.

  * حداقل یکی از مربع‌های ‎$1\times 1$ هر یک از کارت‌هایی را که در مرحله‌ی ‎$i$ام می‌گذاریم، باید دقیقاً روی یکی از مربع‌های ‎$1\times 1$ یکی از کارت‌های مرحله‌ی ‎$i-1$‎ قرار بگیرد. 


اگر در ابتدا تنها یک کارت روی میز باشد، پس از ‎۴‎ مرحله حداکثر چند کارت روی میز خواهد بود؟
 
  - ۵۴
  - ۵۵
  - ۸۷
  - ۷۵
  - ۱۶۵

<پاسخ>
گزینه (۴) درست است.


در مرحله‌ی اول ٬۴ در مرحله دوم ٬۹ در مرحله‌ی سوم ۲۵ و در مرحله‌ی چهارم ۳۶ کارت می‌توان بر روی میز با شرایط مسئله قرار داد که در این صورت تعداد کل کارت‌ها برابر $1+4+9+25+36$؛ یعنی ۷۵ خواهد شد.

به راحتی می‌توانید بررسی کنید که تعداد کل کارت‌های روی میز پس از $n$ مرحله برابر عبارت زیر می‌باشد:

$$ \lfloor \frac{3}{3} \rfloor^2 + \lfloor \frac{7}{3} \rfloor^2 +\lfloor \frac{11}{3} \rfloor^2 +\lfloor \frac{15}{3} \rfloor^2 + \lfloor \frac{19}{3} \rfloor^2 +...+\lfloor \frac{4n+3}{3} \rfloor^2$$


</پاسخ>
  * [[سوال ۳۰|سوال بعد]]
  * [[سوال ۲۸|سوال قبل]]