====== سوال ۲۵ ======
{{:سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۱۲:2512.png |}}
به چند طریق می‌توان مثلث‌های کوچک را سیاه یا سفید کنیم٬ به‌طوری‌که هیچ دو مثلث سیاه مجاور نباشند. (دو مثلث مجاورند اگر ضلع مشترک داشته باشند‎.‎)



  - ‎۱۰۸
  - ۱۱۲
  - ۱۴۴
  - ۱۹۴
  - ۲۰۸
<پاسخ>
گزینه (۵) درست است.

با در نظر گرفتن ۴ مثلث پر رنگ در شکل زیر حالات زیر پیش می‌آید:

{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۱۲:37.png |}}



  - تعداد مثلث‌های سیاه صفر باشد که این کار به $\binom{12}{0}$؛ یعنی ۱ طریق ممکن است.
  - تعداد مثلث‌های سیاه یک باشد که این کار به $\binom{12}{1}$؛ یعنی ۱۲ طریق ممکن است.
  - تعداد مثلث‌های سیاه دو باشد که در این صورت آن دو مثلث نمی‌توانند در داخل یک مثلث پر رنگ قرار گیرند. رنگ کردن دو مثلث با شرط فوق به $\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1}-3$؛ یعنی ۵۱ طریق ممکن است.
  - تعداد مثلث‌های سیاه ۳ باشد که در این صورت آن سه مثلث در داخل سه مثلث پررنگ متمایز قرار داشته و به $\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} - \binom{3}{1} \binom{6}{1}$؛ یعنی ۹۰ طریق امکان‌پذیر است.
  - تعداد مثلث‌های سیاه ۴ باشد که در این صورت آن چهار مثلث در داخل چهار مثلث پررنگ متمایز قرار داشته و به  $\binom{3}{1} \binom{2}{1} \binom{3}{1} \binom{3}{1}$؛ یعنی ۵۴ طریق ممکن است.

مجموع کل حالات به‌دست آمده $1+12+51+90+54$؛ یعنی ۲۰۸ می‌شود.



</پاسخ>
  * [[سوال ۲۶|سوال بعد]]
  * [[سوال ۲۴|سوال قبل]]