====== ‎سوال ۲۲ ======

$99$‎ ظرف با تعدادی گردو در هریک موجود است، این ظرف‌هاروی یک میز به صورت یک صف قرار گرفته‌اند. هرجا می‌توانیم ۲‎ ظرف کنار هم را انتخاب می‌کنیم و  از هر کدام ‎۱‎ گردو  برداریم (هر دو باید حداقل ‎۱‎ گردو  داشته باشند)،یا به هر کدام ‎۱‎ گردو اضافه می‌کنیم. دو وضعیت از ظرف‌ها را قابل تبدیل به هم می‌نامیم اگر بتوان با شروع از هر کدام و با چند بار انجام این دو حرکت٬ به دیگری رسید. چند زوج متمایز از چهار وضعیت $a$، $b$، $c$ و $d$ به هم قابل تبدیل‌اند؟

{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۱۲:2212.png |}}

  - ۰
  - ۱
  - ۲
  - ۳
  - ۶

<پاسخ>
گزینه (؟) درست است.

در هر مرحله دو گردو به کل گردوها اضافه و یا دو گردو از کل گردوها کم می‌شود٬ بنابراین اگر کل گردوها فرد باشد در نهایت نیز فرد و اگر کل گردوها زوج باشد در نهایت نیز کل گردوها زوج خواهد بود.

مجموع کل گردوها در حالات $a$، $b$، $c$ و $d$ به ترتیب فرد٬ زوج٬ فرد و زوج می‌باشد٬ بنابراین $a$ به $a،b$ به $c،d$ به  $b$ و $c$ به $d$ قابل تبدیل نیستند و اما $a$ به $c$ و نیز $b$ به $d$ قابل تبدیل‌اند که نحوه‌ی تبدیل هر یک به شکل زیر می‌باشد:

**نحوه‌ی تبدیل $a$ به $c$:**اولی را رد کرده و پس از آن هر زوج متوالی را انتخاب کرده و گردو به آن‌ها اضافه می‌کنیم.

  * اولی٬دومی و سومی را رد کرده و پس از آن هر زوج متوالی را انتخاب کرده و گردو به آن‌ها اضافه می‌کنیم.
  * اولی٬دومی و سومی٬ چهارمی و پنجمی را رد کرده و پس از آن هر زوج متوالی را انتخاب کرده و گردو به آن‌ها اضافه می‌کنیم.

اگر الگوریتم فوق را ادامه دهیم به حالت $c$ خواهیم رسید.

**نحوه‌ی تبدیل $b$ به $d$:**

  * زوج‌های $(98,99)،...،(52,53)،(50,51)،(49,50)،...،(3,4)،(1,2)$ را انتخاب کرده و به هر یک از اعضای ۲۵ زوج اول یک گردو اضافه واز هر یک از اعضای ۲۵ زوج دیگر یک گردو برمی‌داریم که به دنباله‌ی یر خواهیم رسید:

$$2,3,4,5,...,49,50,51,...,95,96,97,98$$

  * زوج‌های $(48,49)،...،(4,5)،(2,3)$ را انتخاب کرده و به هر یک از اعضای آن زوج‌ها یک گردو اضافه و زوج‌های $(99,98)،...،(53,54)،(51,52)$ را انتخاب کرده و از هر یک از اعضای آن یک گردو برمی‌داریم که به دنباله‌ی زیر خواهیم رسید:



$$3,4,5,...,49,50,50,50,50,50,51,...,95,96,97$$

با تکرار الگوریتم فوق پس از مدتی به دنباله‌ی متقارن زیر می‌رسیم:

$$50,51,50,...,50,51,50,51,50,50,50,51,50,51,50,...,50,51,50$$

باز باتکرار آن الگوریتم به دنباله‌ی $d$ خواهیم رسید.


</پاسخ>
  * [[سوال ۲۳|سوال بعد]]
  * [[سوال ۲۱|سوال قبل]]