====== سوال ۱۶ ======

برای جایگشت $p$ از اعداد ۱ تا $n$،   ‎$f(p)$‎ را برابر‎$\sum_{i=1}^n\left|p_i-i\right|$‎  تعریف می‌کنیم .
میانگین ‎$f(p)$‎ برای کل جایگشت‌های ‎۷‎ تایی چند است؟

‎
  - ‎۰
  - ۷
  - ۱۴
  - ۱۶
  - ۲۱

<پاسخ>
گزینه (۴) درست است.

می‌دانیم تعدا کل جایگشت‌ها برابر $7!$ می‌باشد. در $\frac{1}{7}$ از جایگشت‌ها رقم اول ٬۱ در $\frac{1}{7}$ از آن‌ها رقم اول ٬۲... و بالاخره در $\frac{1}{7}$ ا جایگشت‌ها رقم اول ۷ می‌باشد که در این صورت ‎$\sum\left|p_i-i\right|$ بر رقم اول کل جایگشت‌ها $6!\times (0+1+2+...+6)$؛ یعنی $21\times 6!$ خواهد شد. این مجموع بر ارقام دوم٬ سوم٬ ... و هفتم نیز به ترتیب برابر ۱۶٬۱۳٬۱۲٬۱۳٬۱۶ و ۲۱ می‌باشد٬ بنابراین:


$$\overline{x}=\frac{‎\sum\left|p_i-i\right|}{7!}=\frac{6! \times (21+16+13+12+13+16+21)}{7!}$$


</پاسخ>

  * [[سوال ۱۷|سوال بعد]]
  * [[سوال ۱۵|سوال قبل]]