====== درجه ی رئوس ======
===== درجه ی رئوس در گراف های بی جهت =====
درجه ی رأس $v$ در یک گراف بی جهت برابر است با تعداد یال هایی است که با آن رأس برخورد دارند به جز حلقه ها که، سهم یک حلقه در  درجه ی یک رأس برابر ۲ می باشد.
برای درک بهتر مطلب به مثال زیر توجه فرمایید: \\
مثال: درجه ی هر یک از رئوس گراف های زیر را بیابید.{{ :آموزش:گراف:distance-1.jpg?nolink |}}
$$In \quad G : deg(a) = 2, deg(b) = 4, deg(c) = 4, deg(d) = 1, deg(e) = 3, deg(f) = 4, deg(g) = 0$$
$$In \quad H : deg(a) = 4, deg(b) = 4+2* = 6, deg(c) = 1, deg(d) = 5, deg(e) = 6$$
*__سهم حلقه در درجه ی رئوس ۲ می باشد.__\\ \\
اگر $G(V, E)$ یک گراف بی جهت (چه چندگانه، چه ساده و چه با حلقه) با $m$ یال باشد آنگاه
$$2m = \sum_{v \in V}deg(v).$$
پس از این رابطه می توان نتیجه گرفت که تعداد رئوس با درجه ی فرد، زوج است.
===== درجه ی رئوس در گراف های جهت دار =====
در گراف های جهت دار به جای درجه ی یک رأس، درجه ی ورودی و درجه ی خروجی را داریم که به ترتیب تعداد یال های وارد شده به یک رأس و تعداد یال های خارج شده از یک رأس را می گوییم.\\
اگر $G(V, E)$ یک گراف جهت دار  باشد آنگاه
$$|m| = \sum_{v \in V}deg^-(v) + \sum_{v \in V}deg^+(v).$$