آیا می‌دونید تیم فوتبال ایران چطور تونست کره‌جنوبی رو در زمین این کشور شکست بده و به جام جهانی صعود کنه؟ کارلوس کی‌روش (سرمربی تیم) شب قبل از مسابقه، به‌وسیله دو تابع ‎$f$‎ و ‎$g$‎ شیوه بازی کره‌جنوبی رو آنالیز کرده بود‎!!!‎ این توابع به صورت زیر تعریف می‌شوند‎:‎

‎ $$f(x,y) =‎ ‎\begin{cases}‎ ‎x‎, ‎& y=0 \\‎ ‎2f(x,\lfloor \frac{y}{2} \rfloor)‎, ‎& y > 0‎ , ‎y = 2k \\‎ ‎3f(x,\lfloor \frac{y}{2} \rfloor)‎, ‎& y > 0‎ , ‎y = 2k+1 ‎\end{cases}$$
‎ ‎ $$g(n) = \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}f(i,j)$$ ‎

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 229939$ محاسبه شده‌اند.

$1$- الف ($7$ نمره) : اگر مقدار $g(\Delta + 3)$ را $M_1$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_1$ بر $\Delta$ چند است؟

$1$- ب ($10$ نمره) : اگر مقدار $g(\Delta ^ 2 + 3)$ را $M_2$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_2$ بر $\Delta$ چند است؟

$1$- ج ($13$ نمره) : اگر مقدار $g(2 ^ {10000})$ را $M_3$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_3$ بر $\Delta$ چند است؟

• سوال بعد