فرض کنید ارقام هر رشته را دور یک دایره چیده باشیم و این دایره را «دایره‌ی ارقام» آن رشته بنامیم. رئوس معادل دو رشته به هم یال دارند، اگر دایره‌ی ارقامشان با چرخش به یکدیگر تبديل شود. به کمک این دیدگاه، آیا می‌توان مشخص کرد که چه رشته‌هایی در یک مولفه قرار می‌گیرند؟

روشن است که یک رشته بعد از حداکثر $26$ مرحله انجام عمل شیفت دوری به رشته‌ی اولیه تبديل می‌گردد. اگر یک رشته بعد از $k$ مرحله برای اولین بار به خودش تبديل شود، یعنی در تمام $k-1$ مرحله‌ی میانی، رشته‌های متفاوتی ظاهر شده‌اند و از این پس نیز به همين ترتیب در مراحل ظاهر می‌شوند. بنابراین این رشته‌ها در یک مولفه‌ی هم‌بندی قرار می‌گیرند. آیا با محاسبه‌ی تعداد تکرارهای هر رشته می‌توان تعداد مولفه‌های گراف را محاسبه کرد؟

با توجه به دایره‌ی ارقام رشته‌ها، هر رشته از صفر و یک را می‌توان با یک رشته از تعداد صفر‌های بین هر دو یک معادل کرد و مسئله را از این دید بررسی کرد.

برای هر $1\leq k$ هر رشته در چه صورت بعد از $k$ مرحله شیفت دوری به خودش می‌رسد؟

اگر از دیدگاه تعداد صفر‌های بین دو یک به مسئله نگاه کنیم، روشن است که دو رشته بعد از $k$ مرحله باهم یکسان خواهند بود، اگر و تنها اگر به ازای هر $i$، تعداد صفر‌های بازه‌ی $i$ام قبل از انجام $k$ مرحله و بعد از انجام $k$ مرحله یکسان باشند.

رشته‌های مسئله را با در نظر گرفتن $k$های مختلف، دسته‌بندی و بررسی کنید.