المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی دوم:دوره ی ۳۲:سوال ۸

سوال ۸

کلاه‌قرمزی یک جدول $10 \times 10$ دارد که سطر‌ها و ستون‌های آن از ۱ تا ۱۰ شماره‌گذاری شده‌اند و در هر خانه‌ی آن دقیقاً یک سوراخ وجود دارد. بچه‌ی فامیل دور که ۸ تیله دارد، این جدول را پیدا کرده است. او به ازای هر تیله، یکی از خانه‌های جدول را به صورت تصادفی با احتمال یکسان انتخاب می‌کند و تیله را در سوراخ آن خانه می‌اندازد (امکان دارد در سوراخ یک خانه، چندین تیله قرار بگیرد). حال اگر تعداد تیله‌های واقع در سوراخ خانه‌ی تقاطع سطر $i$اُم و ستون $j$اُم را با $c_{i,j}$ نمایش دهیم، زیبایی جدول با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$\sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} i \times j \times (c_{i,j})^2$$

امید ریاضی زیبایی جدول پس از انداختن ۸ تیله چه‌قدر است؟

  1. $\frac{8667}{50}$
  2. $\frac{12947}{50}$
  3. $\frac{16767}{100}$
  4. ۱۹۳۶
  5. $\frac{25047}{100}$

راهنمایی

می‌دانیم که $(c_{i,j})^2=2 {c_{i,j} \choose 2} + c_{i,j}$. این تساوی را در فرمول زیبایی جدول جایگزین کنید و سپس به محاسبه‌ی امید ریاضی جدول بپردازید.

راهنمایی

امید ریاضی قرار گرفتن یک توپ در خانه $i,j$ از جدول چند است؟

امید ریاضی قرار گرفتن دو توپ در خانه $i,j$ از جدول چند است؟

با توجه به خواص امید ریاضی، این مقادير را در محاسبه‌ی امید ریاضی زیبایی جدول استفاده کنید.


ابزار صفحه