Processing math: 100%

المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی دوم:دوره ی ۲۵:سوال یک

فرهاد و علی‌رضا در منهتن

فرهاد و علی‌رضا یک جدول m×n دارند (m,n>1) و روی آن بازی می‌کنند. خانه‌ی واقع در سطر i-ام و ستون j-ام جدول را با (i,j) نشان می‌دهیم. فاصله‌ی دو خانه‌ی (r1,c1) و (r2,c2) را، برابر |r1r2|+|c1c2| تعریف می‌کنیم. برای مثال، در جدول زیر، فاصله‌ی دو خانه‌ی مشخص شده، برابر ۵ است:

فرهاد k خانه‌ی a1,a2,,ak از جدول را انتخاب می‌کند و به علی‌رضا می‌گوید؛ سپس علی‌رضا یک خانه از جدول مانند X را انتخاب می‌کند و پس از این انتخاب، اعداد b1,b2,,bk را به فرهاد می‌گوید که bi، فاصله‌ی خانه‌ی X تا خانه‌ی ai است. حال باید فرهاد با توجه به این k عدد، خانه‌ی مورد نظر علی‌رضا (X) را پیدا کند. فرهاد در صورتی می‌برد که خانه‌ی مورد نظر علی‌رضا را بفهمد. فرض کنید هر دو نفر به به‌ترین نحو ممکن بازی می‌کنند.

اگر k کم‌ترین عددی باشد که فرهاد روشی برای انتخاب k خانه داشته باشد که ببرد، تعداد روش‌های انتخاب این k خانه را که فرهاد، با انتخاب آن‌ها به هدفش می‌رسد، به دست آورید. توجه کنید تنها با یافتن k، می‌توانید تا ۱۵ نمره بگیرید.

پاسخ

ابتدا ثابت می‌کنیم کمینه‌ی k برابر ۲ است. ابتدا نشان می‌دهیم کمینه‌ی k نمی‌تواند ۱ باشد. اگر فرهاد تنها یک خانه را انتخاب کند و علی‌رضا پاسخ ۱ به او بدهد، از آن‌جایی که هر خانه دست کم ۲ خانه‌ی مجاور (ضلعی) دارد، پس فرهاد نمی‌تواند به طور یکتا خانه‌ی مورد نظر علی‌رضا را مشخص کند. حال نشان می‌دهیم فرهاد می‌تواند با انتخاب ۲ خانه، به هدفش برسد. فرض کنید فرهاد دو خانه‌ی (1,1) و (1,m) را انتخاب کند و علی‌رضا برای این دو خانه، به ترتیب پاسخ‌های p و q بدهد. اگر خانه‌ی مورد نظر علی‌رضا (r,c) باشد، باید r+c=p+2 و cr=q(m1) باشد. با حل دو معادله و دو مجهول بالا، r,c به طور یکتا دست می‌آید.

حال ثابت می‌کنیم تعداد روش‌های انتخاب ۲ خانه، طوری که فرهاد به هدفش برسد، ۴ است. اگر فرهاد دو خانه‌ی گوشه‌ای در طول یک ضلع را انتخاب کند، مانند روش بالا فرهاد می‌تواند به هدفش برسد. حال فرض کنید دو خانه به صورتی دیگر انتخاب شوند و این دو خانه، (r1,c1),(r2,c2) باشند. ثابت می‌کنیم فرهاد نمی‌تواند به هدفش برسد. دو حالت داریم:

  • فرض کنید این دو خانه، دو خانه در دو گوشه‌ی روبه‌روی جدول باشند. دو خانه‌ی مجاور (r1,c1) را در نظر بگیرید. اگر علی‌رضا یکی از این دو خانه را انتخاب کند، در هر صورت دنباله‌ی اعدادی که به فرهاد تحویل می‌دهد، یک‌سان است و فرهاد به هدفش نمی‌رسد.
  • فرض کنید دست کم یکی از این دو خانه، در گوشه نباشند. بدون از دست دادن کلیت فرض کنید (r1,c1) در گوشه نباشد. پس حداقل ۳ خانه‌ی مجاور دارد. اگر فاصله‌ی دو خانه‌ی انتخابی فرهاد را d در نظر بگیریم، فاصله‌ی خانه‌ی (r2,c2) تا ۳ خانه‌ی مذکور تنها می‌تواند d1 یا d+1 باشد. فاصله‌ی این ۳ خانه‌ی مذکور تا (r1,c1) نیز ۱ است. پس طبق اصل لانه کبوتر، حداقل دو تا از این خانه‌ها هستند که اگر علی‌رضا آن‌ها را انتخاب کند، دنباله‌ی اعداد یک‌سانی به فرهاد تحویل داده می‌شود و فرهاد به هدفش نمی‌رسد.

پس در هر حالت جز ۴ حالت گفته شده، فرهاد نمی‌تواند به هدفش برسد و پاسخ برابر ۴ است.


ابزار صفحه