گزینه (۳) درست است.

چون $\{2,6\}$ و $\{3,7\}$ دو زوج هم‌زمان هستند، زمانی وجود دارد که $2,3,6$ در باجه‌ها قرار دارند. در این صورت زوج‌های $\{1,7\}$ و $\{4,7\}$ و $\{1,5\}$ نمی‌توانند هم‌زمان باشند. زوج‌های دیگر را نیز به راحتی می‌توان مشاهده کرد که می‌توانند هم‌زمان باشند.

گزینه (۱) درست است.

با توجه به شرایطی که در مسئله گفته شده، هر نفر که وارد یک باجه می‌شود، دو زوج هم‌زمان ایجاد می‌شوند و در ابتدا نیز $1,2,3$ سه زوج هم‌زمان تشکیل می‌دهند. پس مستقل از ترتیب ورود و خروج افراد تعداد زوج‌های هم‌زمان برابر است با: $3+7\times2=17$.

گزینه (۱) درست است.

کم‌ترین مجموع زمانی رخ می‌دهد که در آن ترتیب خروج افراد از باجه‌ها صعودی باشد، در این صورت با اضافه شدن هر نفر سه واحد به مجموع اضافه می‌شود و در ابتدا نیز که $1,2,3$ در باجه‌ها هستند، مجموع برابر ۴ است. پس در کل کم‌ترین مجموع برابر است با: $4+7\times3=25$.

بیش‌ترین مجموع نیز در حالتی رخ می‌دهد که درهر مرحله فردی از باجه خارج شود که بزرگ‌ترین شماره را دارد. در این صورت هنگامی که فرد $i$ ام وارد می‌شود، مقدار $i-1+i-2$ به مجموع اضافه می‌شود، در این صورت مجموع کلی برابر می‌شود با: $\textstyle \sum_{i=1}^9 i+\textstyle \sum_{j=1}^8 j=45+36=81$.

گزینه (۴) درست است.

زوج‌های $\{2,5\}،\{1,3\}$ و $\{4,8\}$ سه را در نظر بگیرید. هر کدام از این زوج‌ها برای ترتیب خروج از باجه ۲ حالت دارند که این دو حالات تاثیری بر ترتیب ورود و خروج بقیه افراد ندارند. از طرفی هنگامی که نفر دهم می‌خواهد وارد شود، ۳ حالت برای نفری که از باجه خارج می‌شود می‌توان در نظر گرفت. پس در کل $2\times 2\times 2 \times 3$ برای ترتیب قرار گرفتن افراد در باجه‌ها داریم.