گزینه (۴) درست است.

$I$ صحیح است زیرا اگر $x$ عدد صحیح باشد هم $\lfloor x \rfloor$ و هم $\lceil x \rceil$ هر دو با خود $x$ برابرند.

$II$ نیز صحیح است زیرا اگر $x$ صحیح نباشد آن را به صورت $x=m+r$ می‌نویسیم که درآن $m$ یک عدد صحیح است و $0<r<1$. در این صورت خواهیم داشت:

$$\lfloor x \rfloor=\lfloor m+r \rfloor=m \quad , \quad \lceil x \rceil=\lceil m+r \rceil=m+1$$

$III$ غلط است. مثال نقض $x=4$ و $y=2/2$ می‌باشد در این صورت خواهیم داشت؛

$$\lfloor 4 \rfloor \lceil 2/2 \rceil=4\times3=12 \\ \lceil 4 \rceil \lfloor 2/2 \rfloor=4\times2=8$$

$IV$ صحیح است. زیرا اگر $x$ صحیح باشد در این صورت خواهیم داشت:

$$-\lfloor x \rfloor=-x \\ \lceil -x \rceil=-x$$

و اگر $x$ صحیح نباشد آن را به صورت $x=m+r$ می‌نویسیم که در آن $m$ یک عدد صحیح بوده و $0<r<1$. در این صورت خواهیم داشت:

$$-\lfloor x \rfloor=-\lfloor m+r \rfloor=-m \\ \lceil -x \rceil = \lceil -m-r \rceil=\lceil -m+1-1-r \rceil=\lceil (-m-1) + (1-r) \rceil$$

چون $0<1-r<1$ ٬ پس خواهیم داشت:

$$\lceil -x \rceil=(-m-1)+1=-m$$