سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۶:سوال ۳
سوال ۳
فرض کنید $b_qb_{q-1}\ldots b_0$ نمایش عدد $b$ در مبنای ۲ باشد. عدد $b$ بر ۳ بخش‌پذیر است اگر و تنها اگر:
- $b_1 = b_0 = 1$
- مجموع $b_i$ ها بر ۹ بخش‌پذیر باشد.
- مجموع $b_i$ ها بر ۳ بخش‌پذیر باشد ولی بر ۹ بخش‌پذیر نباشد.
- مقدار $b_0 - b_1 + b_2 - \cdots$ صفر باشد.
- مقدار $b_0 - b_1 + b_2 - \cdots$ بر ۳ بخش‌پذیر باشد.
پاسخ
گزینه (۵) درست است.
در حالت کلی قابل اثبات است که اگر $a_p a_{p-1}…a_0$ نمایش عدد $a$ در مبنای $n$ باشد٬ آن‌گاه عدد $a$ بر $n+1$ بخش‌پذیر است اگر و تنها اگر مقدار $a_0-a_1+a_2-…$ بر $n+1$ بخش‌پذیر باشد. کافی است بسط عدد در مبنای $n$ را بنویسید.
ابزار صفحه
کلیه‌ی حقوق این سایت متعلق به کمیته‌ی ملی المپیاد کامپیوتر ایران است.
