مثلثال شکلی است که مرحله به مرحله تکمیل می‌شود. مثلثال در مرحله‌ی صفرم از یک مثلث متساوی الاضلاع بزرگ تشکیل شده است که به چهار مثلث متساوی الاضلاع کوچک تر و هم اندازه تقسیم شده‌است. به یک مثلث کال گوییم، اگر داخل آن کاملا́ خالی باشد. مثلثی را که دقیقاً شامل چهار مثلث کال باشد، جوان می‌گوییم. در هر مرحله تمام مثلث‌های جوان را در نظر می‌گیریم و عملیات زیر را بر روی هر کدام از آن ها انجام می‌دهیم:

چهار مثلث کال داخل را مثلث‌های بالا، وسط، پایین راست و پایین چپ می‌نامیم. دو تا از این چهار مثلث، به چهار مثلث کوچک‌تر تقسیم می‌شوند که انتخاب مثلث‌ها بستگی به باقی مانده‌ی شماره‌ی مرحله به سه دارد:

• اگر باقی‌مانده برابر یک باشد، مثلث پایین راست و مثلث بالا را تقسیم می‌کنیم.
• اگر باقی‌مانده برابر دو باشد، مثلث پایین چپ و مثلث بالا را تقسیم می‌کنیم.
• اگر باقی‌مانده برابر صفر باشد، مثلث پایین راست و مثلث پایین چپ را تقسیم می‌کنیم.

سه مرحله‌ی اول در شکل زیر نشان داده‌ شده است:

پس از مرحله ی $i$اُم، چند مثلث کال وجود دارد؟

1. $2^{i+2}$
2. $3 \times 2^{i+1} - 2$
3. $2^{i+1} + 2$
4. $3^{i+1} + 1$
5. $2 \times 3^{i+1} - 2$

به یک نقطه در صفحه تیز گوییم، اگر رأس دست کم یکی از مثلث های شکل باشد (نه لزوماً مثلث های کال). پس از مرحله‌ی $i$اُم، تعداد نقاط تیز چند تاست؟

1. $3 \times 2^{i+1}$
2. $2 \times 3^{i+2} - 4$
3. $6^{i+1}$
4. $2 \times 3^{i+1}$
5. $2 + 3^{i+1}$

به یک خط افقی در صفحه مشغول گوییم، اگر شامل حداقل یک نقطه‌ی تیز باشد. لزومی ندارد این خط در مثلثال رسم شده باشد. پس از مرحله‌ی ۶اُم، تعداد خط‌های افقی مشغول در صفحه چیست؟

1. ۶۳
2. ۵۳
3. ۱۲۸
4. ۷۹
5. ۵۰

• سوال قبل
• سوال بعد