سوال ۱۸
۳ عدد $a$٬ $b$ و $c$ روی تخته نوشته‌شده‌اند.آرش و ایمان به‌این‌ترتیب با این سه عدد بازی می‌کنند که هر کس در نوبت خود دو عدد دلخواه از این سه عدد، مثل $a$ و $b$ را از روی تخته پاک می‌کند و عدد $a+b$ و $a-b$ را به‌جای آن‌ها می‌نویسد.آرش بازی را شروع می‌کند.آرش و ایمان به‌طور یک در میان بازی می‌کنند.آرش می‌خواهد کار را به جایی برساند که هر سه عدد نوشته‌شده روی تخته بر ۳ بخش‌پذیر باشند و ایمان می‌خواهد جلوی این کار را بگیرد. به ازای چند تا از سه‌تایی‌های زیر به‌عنوان مقادیر اولیه‌ی ($a,b,c$) آرش می‌تواند به هدف خود برسد.
$$(1,2,10),(2,3,6),(3,1,4),(5,6,7),(100,1000,10000)$$
- ۱
- ۴
- ۲
- ۰
- ۵
پاسخ
گزینه (۴) درست است.
اگر آرش از سه‌تایی $(x,y,z)$ سه‌تایی $(x+y,x-y,z)$ را چنان بسازد که هر سه عدد $z$،$x-y$ و $x+y$ بر ۳ بخش‌پذیر باشند٬ آن‌گاه خواهیم داشت:
$ \left. \begin{array}{l l l} z\equiv 0 \pmod{3} \\ x-y\equiv 0 \pmod{3} \\x+y\equiv 0 \pmod{3} \end{array} \right\} \Rightarrow 2x\equiv0 \pmod{3} \Rightarrow x\equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow y\equiv0 \pmod{3}$
بنابراین معلوم می‌شود شرط لازم برای آن‌که آرش بتواند برنده شود آن است که سه‌تایی ماقبل آخر باید چنان باشد که هر سه عدد موجود در آن سه‌تایی بر ۳ بخش‌پذیر باشد تا آرش بتواند برنده شود که در بین سه‌تایی‌های داده شده هیچ سه‌تایی چنین خاصیتی را ندارد.
ابزار صفحه
کلیه‌ی حقوق این سایت متعلق به کمیته‌ی ملی المپیاد کامپیوتر ایران است.
