Processing math: 100%

المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۱۵:سوال ۳۴

سؤال ۳۴

یک مکعب بزرگ n×n×n را در نظر بگیرید. این مکعب را به n3 مکعب واحد تقسیم کرده‌ایم. دو نفر این بازی را روی مکعب بزرگ انجام می‌دهند: هر نفر در نوبت خود یک مکعب مستطیل n×1×1 و 1×n×1 یا 1×1×nاز مکعب بزرگ ، که هیچ‌یک از مکعب‌های واحد آن رنگ نشده‌اند، را انتخاب کرده و مکعب‌های واحد آن را رنگ می‌کند. در ابتدا هیچ‌یک از مکعب‌های واحد رنگ نشده‌اند. هر کس نتواند در نوبت خود مکعب مستطیلی به شرح فوق انتخاب و رنگ کند بازنده خواهد بود. برای کدام‌یک از حالت‌های n=۱۰, n=۱۱, n=۱۲ و n=۱۳٬ نفر اول می‌تواند طوری بازی کند که حتماً برنده شود؟

  1. همه‌ی حالات
  2. هیچ‌یک از حالات
  3. حالاتِ ۱۱=n و ۱۳=n
  4. حالتِ ۱۱=n
  5. حالاتِ ۱۰=n و ۱۲=n

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

اگر n فرد باشد٬ آن‌گاه سه مکعب با ابعاد ۱٬۱ و n به صورت عمودی٬ طولی و عرضی در وسط مکعب وجود دارد که قرینه آن مکعب‌ها نسبت مرکز اصلی مکعب خود آن مکعب‌ها می‌شود. در بقیه حالت‌ها قرینه هر مکعب با ابعاد ۱٬۱ و nمکعب دیگری باهمین ابعاد می‌شود.بنابراین اگر n زوج باشد٬ بازیکن دوم برنده می‌شود به این صورت که بازیکن اول هر حرکتی را انجام دهد او قرینه همان حرکت نسبت به مرکز اصلی مکعب را انجام می‌دهد و اگر n فرد باشد٬ بازکن اول برنده می‌شود به این صورت که در ابتدا یکی از سه مکعب با ابعاد ۱٬۱ و n که از مرکز مکعب می‌گذرد را بر‌می‌دارد و سپس بازیکن دوم هر حرکتی را انجام دهد بازیکن اول قرینه حرکت او نسبت به مرکز مکعب را انجام می‌دهد. بنابراین به ازای n های فرد بازیکن اول و به ازای n های زوج بازیکن دوم برنده می‌شود.


ابزار صفحه