سوال ۳۰
می‌دانیم که با ۸ رقم دودویی می‌توان اعداد ۰ تا ۲۵۵ را نمایش داد. یعنی اگر عدد دودویی $(a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0)_2$ باشد مقدار آن برابر $128a_7 + 64a_6 + 32a_5 + 16a_4 + 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 + a_0$ است. اگر رقم $a_4$ (یعنی اگر رقم با ارزش $2^4$) به جای ۰ و ٬۱ دو مقدار ۱- و ۱ را اختیار کند٬ تعداد کل اعداد متمایز قابل نمایش با این ۸ رقم دودوئی چند تا است؟
- ۱۲۸
- ۱۴۴
- ۱۹۶
- ۲۵۶
- ۲۷۲
پاسخ
گزینه (۲) درست است.
اگر ۲۵۶ عدد مورد نظر را با ۱۶ دسته ۱۶تایی از ۰ تا ۱۵، از ۱۶ تا ۳۱، از ۳۲ تا ۴۷،…، از ۲۴۰ تا ۲۵۵ تقسیم کنیم آن‌گاه رقم $a_4$ در دسته‌های دوم٬ چهارم٬…٬ شانزدهم برابر ۱۲۸ می‌باشد. در دسته‌های اول٬ سوم٬ …٬ پانزدهم با تبدیل ۰ به ۱- در رقم $a_4$ آن اعداد ۱۶ واحد کم‌تر می‌شوند که در این صورت اعداد دسته $(2k-1)$ام همان اعداد دسته $(2k)$ام می‌شود و فقط ۱۶ عدد موجود در دسته اول به اعداد از ۱۶- تا ۱- تبدیل می‌شوند. بنابراین تعداد کل جواب‌ها $128+16$ یعنی ۱۴۴ می‌شود.
ابزار صفحه
کلیه‌ی حقوق این سایت متعلق به کمیته‌ی ملی المپیاد کامپیوتر ایران است.
