المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۱۳:سوال ۳۶

سؤال ۳۶

دو تابع $A$ و $B$ به صورت زیر بر روی اعداد طبیعی تعریف شده‌اند. $$A(n) = \begin{cases} 1 & \text{$n=1$,} \\
B(n+1)-1 & \text{$1\lt n$} \end{cases}$$ $$B(n) = \begin{cases} 1 & \text{$n \le 2$,} \\
A(n-2)+2 & \text{$2\lt n$} \end{cases}$$ مقدارهای $A(۱۳۸۱)$ و $B(۲۰۰۳)$ چه‌قدرند؟

  1. ۱۳۸۱ و ۲۰۰۳
  2. ۱۳۸۰ و ۲۰۰۲
  3. ۱۳۸۲ و ۲۰۰۳
  4. ۱۳۸۲ و ۲۰۰۴
  5. ۱۳۸۰ و ۲۰۰۳

پاسخ

گزینه (؟) درست است.

$$A(n) =B(n+1)-1 \Rightarrow A(n)=[A(n-1)+2]-1=A(n-1)+1$$

یعنی به ازای $n\geq2$ حاصل $A(n)$ از عدد قبلی خود ۱ واحد بیش‌تر است و چون $A(2)=2$، بنابراین برابری $A(n)=n$ همیشه برقرار است.

$$B(n) = A(n-2)+2 \Rightarrow B(n) =[B(n-1)-1]+2=B(n-1)+1$$

یعنی به ازای $n\geq3$ حاصل $B(n)$ از عدد قبلی خود بیش‌تر است وچون $B(3)=3$، بنابراین برابری $B(n)=n$ به ازای $n\geq3$ همیشه برقرار است.


ابزار صفحه