قد ۸ دانشآموز بهنامهای J, K, L, M, N, O, P, Q اندازهگیری شده است. میدانیم:
چند ترتیب مختلف از نظر قد برای این دانشآموزان وجود دارد؟
پاسخ
گزینه (۵) درست است.
باتوجه به دادههای مسئله ترتیب LMNQJ بهدست میآید٬ که قبل از L باید فقط یک نفر قرار گیرد٬ اگر K قبل از L باشد٬ آنگاه ترتیب افراد به شکل زیر٬ درمیآید:
KL\Box M\Box N \Box Q \Box J \Box
که اگر دو نفر P و O پیش هم باشند٬ آنگاه یک خانه از مربعها را انتخاب کرده و آن دو حرف را در آنجا قرار میدهیم(ابتدا P و سپس O)٬ که این کار به ۵ طریق ممکن است. اما اگر دو نفر P و O پیش هم نباشند آنگاه دو خانه از مربع را به \binom{5}{2}؛ یعنی ۱۰ طریق انتخاب کرده و در اولی P و در دومی O را قرار میدهیم.
اگر P قبل از L باشد٬ آنگاه ترتیب افراد به شکل زیر در میآید:
PL\Box M\Box N \Box Q \Box J \Box
که اگر دو نفر O و K پیش هم باشند٬ آنگاه یک خانه از مربعها را انتخاب کرده و آن دو حرف را به 2! طریق در آن مربع قرار میدهیم( چون باید K قبل از J باشد٬ پس مربع آخر نمیتواند انتخاب شود)٬ این کار به \binom{4}{1}\times2!؛ یعنی ۸ طریق ممکن است. اما اگر دو نفر O و K پیش هم نباشند٬ آنگاه یکی از چهار مربع اول را انتخاب میکنیم و K را در آن قرار میدهیم و سپس یکی از چهار مربع باقیمانده را انتخاب کرده و O را در آن قرار میدهیم که این کار نیز به 4\times4 طریق ممکن است. بنابراین تعداد کل حالات برابر 5+10+8+16؛ یعنی ۳۹ خواهد شد.