سوال ۲۴
سه ظرف ۳ لیتری داریم که در هر کدام ۱ لیتر آب وجود دارد. در هر حرکت یکی از ظرف‌هارا انتخاب می‌کنیم مقدار $1 \over 3$ آب درون آن را در یکی از دو ظرف دیگر و $1 \over 3$ دیگر را در ظرف سوم می‌ریزیم و $1 \over 3$ را در همان ظرف اول باقی می‌گذاریم. فرض کنید این کار را چند بار تکرار کنیم. در ظرف‌ها به‌ترتیب چه‌مقدار آب می‌تواند باشد؟
- $27 \over 243$ و $301 \over 243$ و $401 \over 243$
- $13 \over 81$ و $89 \over 81$ و $141 \over 81$
- $41 \over 81$ و $111 \over 81$ و $91 \over 81$
- $247 \over 243$ و $91 \over 243$ و $391 \over 243$
- $292 \over 243$ و $129 \over 243 $ و $308 \over 243$
پاسخ
گزینه (۴) درست است.
در ابتدا آب موجود در هر یک از ظروف را $\frac{3^k}{3^k}$ در نظر می‌گیریم که در آن $K$ به اندازه‌ی کافی بزرگ است.
پس از گذشت مراحلی وضعیت سه ظرف چنان است که مخرج همان $3^k$ بوده و صورت آن‌ها به صورت $b\times 3^i ، a\times 3^i$ و $c\times 3^i$ n در می‌آید. در مرحله‌ی بعد با فرض این که آب موجود در ظرف اول را تقسیم کنیم صورت سه کسر به ترتیب برابر $(3b+a)\times 3^{i-1} ، a \times 3^{i-1}$ و $(3c+a)\times 3^{i-1}$ خواهد شد که اگر صورت هر یک از کسرها را با مخرج آن‌ها ساده کنیم٬ صورت آن کسرها به ترتیب به صورت $3b+a ، a$ و $3c+a$ خواهد شد که باقی‌مانده‌ی آن سه عدد در تقسیم بر ۳ یکسان است. در بین گزینه‌ها فقط سه عدد موجود در گزینه‌ی «۴» چنان هستند که صورت هر سه عدد در تقسیم بر ۳ باقی‌مانده‌ی ۱ می‌آورد.
ابزار صفحه
کلیه‌ی حقوق این سایت متعلق به کمیته‌ی ملی المپیاد کامپیوتر ایران است.
