Processing math: 100%

المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۱۱:سوال ۲۴

سوال ۲۴

سه ظرف ‎۳‎ لیتری داریم که در هر کدام ‎۱‎ لیتر آب وجود دارد. در هر حرکت یکی از ظرف‌هارا انتخاب می‌کنیم مقدار ‎13‎ آب درون آن را در یکی از دو ظرف دیگر و ‎13‎ دیگر را در ظرف سوم می‌ریزیم و ‎13‎ را در همان ظرف اول باقی می‌گذاریم. فرض کنید این کار را چند بار تکرار کنیم. در ظرف‌ها به‌ترتیب چه‌مقدار آب می‌تواند باشد؟

  1. 27243‎ و ‎301243‎ و ‎401243
  2. 1381‎ و ‎8981‎ و ‎14181
  3. 4181‎ و ‎11181‎ و ‎9181
  4. 247243‎ و ‎91243‎ و ‎391243
  5. 292243‎ و ‎129243‎ و ‎308243

پاسخ

گزینه (۴) درست است.

در ابتدا آب موجود در هر یک از ظروف را 3k3k در نظر می‌گیریم که در آن K به اندازه‌ی کافی بزرگ است.

پس از گذشت مراحلی وضعیت سه ظرف چنان است که مخرج همان 3k بوده و صورت آن‌ها به صورت b×3i،a×3i و c×3i n در می‌آید. در مرحله‌ی بعد با فرض این که آب موجود در ظرف اول را تقسیم کنیم صورت سه کسر به ترتیب برابر (3b+a)×3i1،a×3i1 و (3c+a)×3i1 خواهد شد که اگر صورت هر یک از کسرها را با مخرج آن‌ها ساده کنیم٬ صورت آن کسرها به ترتیب به صورت 3b+a،a و 3c+a خواهد شد که باقی‌مانده‌ی آن سه عدد در تقسیم بر ۳ یکسان است. در بین گزینه‌ها فقط سه عدد موجود در گزینه‌ی «۴» چنان هستند که صورت هر سه عدد در تقسیم بر ۳ باقی‌مانده‌ی ۱ می‌آورد.


ابزار صفحه