المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۱۰:سوال ۳۳

سوال ۳۳

پنج نفر به نام‌های احسان، حامد، حسین، شادی و الهام در تعدادی جلسه شرکت کردند. می‌دانیم تصادفاً در هر جلسه دقیقاً یک نفر غایب بوده است. الهام در ‎۵‎ جلسه شرکت کرد و حامد در ‎۸‎ جلسه. در ضمن می‌دانیم سه نفر دیگر هر یک در بیش‌تر از ‎۵‎ جلسه و کم‌تر از ‎۸‎ جلسه شرکت کرده‌اند. کدام یک از گزینه‌های زیر در مورد این سه نفر درست است؟

  1. هر سه در ‎۶‎ جلسه شرکت کرده‌اند‎.‎
  2. دو نفر در ‎۶‎ جلسه و یک نفر در ‎۷‎ جلسه شرکت کرده‌اند‎.‎
  3. دو نفر در ‎۷‎ جلسه و یک نفر در ‎۶‎ جلسه شرکت کرده‌اند‎.‎
  4. هر سه در ‎۷‎ جلسه شرکت کرده‌اند‎.‎
  5. اطلاعات داده شده برای حل مسئله کافی نیست‎.‎

پاسخ

گزینه (۲) درست است.

تعداد جلساتی که احسان٬ حسین و شادی در آن شرکت کرده‌اند را به ترتیب $h ، e$ و $s$ می‌نامیم. با توجه به فرض معلوم می‌شود که هر یک از متغیر‌های $h ، e$ و $s$ یکی از دو عدد ۶ یا ۷ می‌توانند باشند. از طرف دیگر اگر تعداد کل جلسات تشکیل شده را $K$ در نظر بگیریم٬ آن‌گاه چون هر جلسه متشکل از ۴ نفر می‌باشد بنابراین تساوی $5+8+e+h+s=4K$ برقرار خواهد بود. با ساده کردن تساوی فوق و با در نظر گرفتن نابرابری $18\leq e+h+s \leq 21$ به تساوی $e+h+s=19$ خواهیم رسید که معلوم می‌شود یکی از آن دو متغیر برابر ۷ و دو تای دیگر برابر ۶ می‌باشند.


ابزار صفحه