1. به $A(x) = \sum_{i=0}^\infty a_i \times \frac{x^i}{i!}$ تابع مولد نمایی دنباله‌ی $ \langle a_0, a_1, \ldots \rangle$ می‌گوییم. صورت صریح تابع مولد نمایی‌ای را بیابید که دنباله‌ی $\langle 1, 1, \ldots \rangle$ را تولید کند. (۱۰ نمره)
2. فرض کنید $P$ یک ویژگی روی گراف‌های همبند باشد. تعداد گراف‌های همبند $n$ رأسی برچسب‌دار که ویژگی $P$ را دارند، $c_n$ در نظر بگیرید و فرض کنید $C(x) = \sum_{i=0}^\infty c_i \frac{x^i}{i!}$ تابع مولد نمایی دنباله‌ی $\langle c_0, c_1, \ldots \rangle$ باشد. ثابت کنید ضریب $\frac{x^n}{n!}$ در تابع مولد نمایی $D(x) = \frac{1}{2} \Big(C(x) \Big)^2$ برابر با تعداد گراف‌های $n$ رأسی برچسب‌دار با دقیقن دو مؤلفه‌ی همبندی است که هر کدام از مؤلفه‌های همبندی، ویژگی $P$ را دارند. (۳۰ نمره)
3. فرض کنید $k$ یک عدد طبیعی دل‌خواه باشد. ثابت کنید ضریب $\frac{x^n}{n!}$ در تابع مولد نمایی $E(x) = \frac{1}{k!} \Big(C(x) \Big)^k$ برابر با تعداد گراف‌های $n$ رأسی برچسب‌دار با دقیقن $k$ مؤلفه‌ی همبندی است که هر کدام از مؤلفه‌های همبندی، ویژگی $P$ را دارند. (۳۰ نمره)
4. تابع مولد نمایی‌ای در نظر بگیرید که ضریب $\frac{x^n}{n!}$ در آن برابر تعداد تمام گراف‌های $n$ رأسی برچسب‌دار باشد که هر مؤلفه‌ی آن، ویژگی $P$ را دارد. یک رابطه‌ی صریح بر حسب $x$و $C(x)$ برای تابع مولد گفته شده بیابید. (۳۰ نمره)

توجه: در این سوال در هر قسمت می‌توانید از قسمت‌های قبلی بدون اثبات استفاده کنید.

• سوال بعد
• سوال قبل