تابع آبی رو!
به A(x)=∑∞i=0ai×xii! تابع مولد نمایی دنبالهی ⟨a0,a1,…⟩ میگوییم. صورت صریح تابع مولد نماییای را بیابید که دنبالهی ⟨1,1,…⟩ را تولید کند. (۱۰ نمره)
فرض کنید P یک ویژگی روی گرافهای همبند باشد. تعداد گرافهای همبند n رأسی برچسبدار که ویژگی P را دارند، cn در نظر بگیرید و فرض کنید C(x)=∑∞i=0cixii! تابع مولد نمایی دنبالهی ⟨c0,c1,…⟩ باشد. ثابت کنید ضریب xnn! در تابع مولد نمایی D(x)=12(C(x))2 برابر با تعداد گرافهای n رأسی برچسبدار با دقیقن دو مؤلفهی همبندی است که هر کدام از مؤلفههای همبندی، ویژگی P را دارند. (۳۰ نمره)
فرض کنید k یک عدد طبیعی دلخواه باشد. ثابت کنید ضریب xnn! در تابع مولد نمایی E(x)=1k!(C(x))k برابر با تعداد گرافهای n رأسی برچسبدار با دقیقن k مؤلفهی همبندی است که هر کدام از مؤلفههای همبندی، ویژگی P را دارند. (۳۰ نمره)
تابع مولد نماییای در نظر بگیرید که ضریب xnn! در آن برابر تعداد تمام گرافهای n رأسی برچسبدار باشد که هر مؤلفهی آن، ویژگی P را دارد. یک رابطهی صریح بر حسب xو C(x) برای تابع مولد گفته شده بیابید. (۳۰ نمره)
توجه: در این سوال در هر قسمت میتوانید از قسمتهای قبلی بدون اثبات استفاده کنید.