Processing math: 10%

المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:دوره ی تابستان:دوره ی ۲۶:ترکیبیات:سوال ۵

کاتالان حرفی برای گفتن ندارد

آ) تابع مولدی که دنباله‌ی ضرایب (0,C0,C1,C2,) را بسازد، بیابید.

ب) با استفاده از تابع مولد به دست آمده، ثابت کنید C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}.

پیوست‌های سوال:

  • منظور از C_n، عدد کاتالان n است که در کلاس مقدار آن را به دست آوردیم. در این سوال باید از توابع مولد برای به دست آوردن آن استفاده کنید.
  • می‌توانید از رابطه‌ی بازگشتی C_n = \sum_{i=0}^{n-1} C_iC_{n-1-i} استفاده کنید.
  • می‌توانید از بسط (1+x)^\alpha = \sum_{r=0}^\infty \binom{\alpha}{r}x^r به ازای هر عدد حقیقی \alpha استفاده کنید.
  • توجه کنید در قسمت الف، ضریب x^i برابر C_{i-1} بوده و ضریب x^0 نیز ۰ می‌باشد. این امر برای راحتی کار شما در نظر گرفته شده است؛ بلکه بیندیشید!

ابزار صفحه