کاتالان حرفی برای گفتن ندارد
آ) تابع مولدی که دنبالهی ضرایب
(0,C0,C1,C2,…)
را بسازد، بیابید.
ب) با استفاده از تابع مولد به دست آمده، ثابت کنید
C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}.
پیوستهای سوال:
منظور از C_n، عدد کاتالان n است که در کلاس مقدار آن را به دست آوردیم. در این سوال باید از توابع مولد برای به دست آوردن آن استفاده کنید.
میتوانید از رابطهی بازگشتی C_n = \sum_{i=0}^{n-1} C_iC_{n-1-i} استفاده کنید.
میتوانید از بسط (1+x)^\alpha = \sum_{r=0}^\infty \binom{\alpha}{r}x^r به ازای هر عدد حقیقی \alpha استفاده کنید.
توجه کنید در قسمت الف، ضریب x^i برابر C_{i-1} بوده و ضریب x^0 نیز ۰ میباشد. این امر برای راحتی کار شما در نظر گرفته شده است؛ بلکه بیندیشید!