پس از آن که سلطان مشاهده کرد اکثر دانش‌مندان مانند آووگادرو، کاتالان، رمزی و $‎\ldots$‎ برای خود عددی دست و پا کرده‌اند ‎(!)‎، تصمیم گرفت او نیز عدد خودش را معرفی کند. به ازای هر عدد طبیعی ‎$n$‎، عدد سلطانی نوع اول که با ‎$S_{1‎, ‎n}$‎ نشان داده می‌شود، برابر با تعداد روش‌های قرار دادن اعداد ‎$1‎, ‎2‎, ‎\ldots‎, ‎n$‎ در یک جدول ‎$2\times{}n$‎ است؛ طوری که هر عدد دست کم یک بار بیاید و هر عدد، بیش‌تر یا مساوی اعداد سمت چپ و پایین‌ش (در صورت وجود) باشد.

1. اگر عدد کاتالان ‎$n$‎ام را با ‎$C_n$‎ نشان دهیم، ثابت کنید: $S_{1‎, ‎n}\ge{}C_n‎$‎‎
2. به ازای هر عدد طبیعی ‎$n$‎، عدد سلطانی نوع دوم که با ‎$S_{2‎, ‎n}$‎ نشان داده می‌شود، برابر با تعداد روش‌های قرار دادن اعداد ‎$1‎, ‎2‎, ‎\ldots‎, ‎n$‎ در یک جدول ‎$2\times{}n$‎ است؛ طوری که هر عدد دقیقن ‎۲‎ بار بیاید و هر عدد، بیش‌تر یا مساوی اعداد سمت چپ و پایین‌ش (در صورت وجود) باشد. اگر عدد کاتالان ‎$n$‎ام را با ‎$C_n$‎ نشان دهیم، ثابت کنید: ‎ $S_{2‎, ‎n}\le{}C_n$

• سوال بعد
• سوال قبل‎‎