Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:دوره ی تابستان:دوره ی ۱۴:گراف:سوال ۱۱

تقریبا تطابق

در گراف G می‌خواهیم تطابقی (نه لزوما کامل) پیدا کنیم که بیش‌ترین وزن را دارد. ولی از آن‌جایی که دستگاه پردازشگر ما خیلی قوی نمی‌باشد مجبوریم الگوریتم ساده بدهیم. وزن یال e را به صورت w(e) و مجموع وزن‌های یال‌های درون مجموعه‌ی X را با w(X) نمایش می‌دهیم. الگوریتمی که به دستگاه ما داده شده به این صورت است:

  • این الگوریتم همیشه یک عدد تطابق M نگه می‌دارد. و آن را به روز می‌کند. در ابتدای کار M تهی می‌باشد.
  • یال‌های گراف یکی یکی به الگوریتم داده می‌شوند و به ازای هر کدام (مثلا e) این عملیات را اجرا می‌کند:

– مجموعه‌ی یال‌هایی از M که مجاور به e هستند را X می‌نامیم. در صورتی 12w(e)>w(X) یال e را به M اضافه می‌کند و یال‌های X را از آن حذف می‌کند.

در پایان کار M را به عنوان خروجی نمایش می‌دهد.

اندازه‌ی جوای که این الگوریتم می‌یابد را w(M) و اندازه‌ی تطابق بیشینه را Mmax می‌نامیم. می‌خواهیم نشان دهیم:

(۱) w(M)αMmax

الف) ثابت کنید عدد ثابت α ای وجود دارد که همیشه رابطه‌ی ۱ برقرار باشد.

ب) ادعای قسمت الف را به ازای α=18 اثبات کنید.

ج) ادعای قسمت الف را به ازای α=16 اثبات کنید.


ابزار صفحه