فهرست مندرجات
نمادهای فاکتوریل، سیگما و پای
نمادها و علائم ریاضی، با اهداف مختلفی از جمله سادگی نوشتار ایجاد شده‌اند. در این صفحه با چند نماد ریاضی که در ترکیبیات زیاد دیده می‌شوند، آشنا می‌شوید.
فاکتوریل
به ازای هر عدد طبیعی $n$، عدد $n$ فاکتوریل با $n!$ نمایش داده شده و به صورت زیر تعریف می‌شود: $$n!=n\times(n-1)\times(n-2)...\times1$$ برای مثال، $3! = 3\times2\times1=6$ است.
به دلیل کابردهای بسیار، $0!$ نیز تعریف می‌شود و طبق قرارداد، مقدار آن برابر ۱ در نظر گرفته می‌شود. شاید یکی از انگیزه‌های تعریف این عدد، تعداد جایگشت‌های خطی ۰ عنصره است که برابر ۱ است.
یک نتیجه‌ی دیگر، یک رابطه‌ی بازگشتی است. با تعریف بالا، واضح است که: $$n! = n \times (n-1)!$$
مثال: مشخص کنید هر یک از روابط زیر درست یا نادرست هستند:
- $(m+n)!=m!+n!$
- $(mn)!=m!n!$
پاسخ
به ازای $m=n=2$، هر ۲ عبارت بالا، نادرست هستند؛ پس هر دو عبارت نادرست هستند.
از مثال، نتیجه گرفته می‌شود باید در محاسبات حواستان باشد برای مثال $2\times{}n!$ را با $(2n)!$ اشتباه نگیرید.
مثال: ثابت کنید: $$(n-1)((n-1)!+(n-2)!)=n!$$
پاسخ
$$(n-1)((n-1)!+(n-2)!)$$ $$=(n-1)((n-1)\times(n-2)!+(n-2)!)$$ $$=(n-1)((n-2)!((n-1)+1))$$ $$=n(n-1)(n-2)!$$ $$=n!$$
سیگما
عبارت $1+2+3+...+100$ را در نظر بگیرید. نوشتن این عبارت به خودی خود چندان جالب نیست؛ چه رسد به آن که بخواهیم با آن اعمال جبری انجام دهیم (مثلن عددی در آن ضرب کنیم یا آن را به توان عددی دیگر برسانیم).
برای ساده‌سازی چنین عباراتی در ریاضیات، نمادهایی تعریف شده است. یکی از این نمادها، سیگما است و با $\sum$ نشان داده می‌شود. نماد سیگما برای ساده‌سازی عباراتی است که جمع چند چیز با ویژگی مشترک هستند. برای مثال عبارت $1+2+3+...+100$ را می‌توان با نماد سیگما به صورت $$\sum_{i=1}^{100}i$$ نشان داد. در پایین و بالای $\sum$، یک یا چند متغیر و حدودشان تعریف می‌شود. در جلوی سیگما نیز، عبارتی که باید جمع شود نوشته می‌شود. مثلن در عبارت بالا نوشته شده، به ازای $i$ از ۱ تا ۱۰۰، مقدار $i$ حساب شود و این مقادیر با هم جمع شوند. به مثال زیر توجه کنید تا نمونه‌های دیگری از کاربرد سیگما را ببینید.
مثال: عبارات زیر را با سیگما ساده‌سازی کنید:
- $2+4+6+...+2n$
- $a_1+a_2+a_3+...+a_n$
- $1+4+9+...+n^2$
- $1\times{}n+2\times{}(n-1)+...+n\times1$
- $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...$
- $\frac{1}{1}+\frac{2}{2}+\frac{4}{6}+\frac{8}{24}+\frac{16}{120}+...$
پاسخ
- $$\sum_{i=1}^{n}2i$$
- $$\sum_{i=1}^{n}a_i$$
- $$\sum_{i=1}^{n}i^2$$
- $$\sum_{k=1}^{n}k\times{}(n-k)$$
- $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}$$
- $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}$$
گاهی عبارات بالا و پایین $\sum$ نوشته نمی‌شوند. برای مثال اگر دنباله‌ی $a_1, a_2, ..., a_n$ را داشته باشیم، داریم: $$a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=\sum{}a_i^2$$ در واقع $\sum{}a_i^2$ به معنای آن است که به ازای تمام $i$-های ممکن، مقدار $a_i^2$ را حساب میکنیم و این مقادیر را با هم جمع میکنیم.
گاهی حدود متغیر سیگما را در همان زیر سیگما مشخص میکنیم. برای مثال: $$f(1)+f(2)+...+f(100)=\sum_{1 \le n \le 100}f(n)$$
عبارات بالا و پایین سیگما لزومن متغیرهایی طبیعی نیستند. برای مثال عبارت $$\sum_{x \in S} 2^x$$ به معنای آن است که به ازای تمام $x$-هایی که عضو $s$ هستند، $2^x$ را حساب کنیم و این مقادیر را با هم جمع کنیم.
گاهی زیر سیگما فقط یک متغیر وجود ندارد. برای مثال فرض کنید $A_1, A_2, ..., A_n$ چند مجموعه باشند. عبارت $$\sum_{i \neq j}|A_i \cap A_j|$$ به معنای آن است که به ازای هر دو مجموعه‌ی $A_i, A_j$ که $i=j$ نیست، اندازه‌ی اشتراک‌شان را حساب کنیم و این مقادیر را با هم جمع کنیم.
خواص سیگما
سیگما خواصی دارد که برخی از آن‌ها در زیر آمده است. برای تمرین می‌توانید این خواص را اثبات کنید.
- $$\sum{}cf(i)=c\sum{}f(i)$$
- $$\sum_{i=s}^{t}f(i)+\sum_{i=s}^{t}g(i)=\sum_{i=s}^{t}(f(i)+g(i))$$
- $$\sum_{i=s}^{t}f(i)=\sum_{i=s}^{m}f(i)+\sum_{i=m+1}^{t}f(i)$$
- $$\sum_{i=s}^{t}f(i+1)-f(i)=f(t+1)-f(s)$$
پای
همانند سیگما که برای ساده‌سازی جمع چند جمله بود، نمادی به نام پای وجود دارد که برای ساده‌سازی ضرب چند جمله به کار می‌رود. پای را با $\prod$ نشان می‌دهیم. برای مثال، عبارت $1\times2\times3\times...\times100$ را با $$\prod_{i=1}^{100}i$$ نشان می‌دهیم.
مثال: عبارت زیر را با پای ساده‌سازی کنید: $$(1+\frac{1}{1})(1+\frac{1}{2})...(1+\frac{1}{n})$$
پاسخ
$$\prod_{i=1}^{n}(1+\frac{1}{i})$$
همانند سیگما، پای را نیز می‌توان به روش‌های دیگر نشان داد.
خواص پای
همانند سیگما، پای نیز خواصی دارد که برخی از آن‌ها در زیر آمده است:
- $$\prod_{i=s}^{t}cf(i) = c^{t-s+1}\prod{i=s}^{t}f(i)$$
- $$\prod_{i=s}^{t}f(i) \times \prod_{i=s}^{t}g(i) = \prod_{i=s}^{t}(f(i)g(i))$$
- $$\prod_{i=s}^{t}f(i) = \prod_{i=s}^{m}f(i) \times \prod_{i=m+1}^{t}f(i)$$
- $$\prod_{i=s}^{t}\frac{f(i+1)}{f(i)}=\frac{f(t+1)}{f(s)}$$
سایر مثال‌‌ها
توجه: ابتدا خودتان به اندازه‌ی کافی روی مسئله‌ها فکر کنید و سپس به پاسخ مراجعه کنید.
مثال: ثابت کنید: $$1\times1!+2\times2!+...+n\times{}n!=(n+1)!-1$$
پاسخ
می‌دانیم: $$i\times{}i!=(i+1)!-i!$$ پس عبارت داده شده برابر است با: $$2!-1!+3!-2!+...+(n+1)!-n!=\sum_{i=1}^{n}((i+1)!-i!)$$ $$=(n+1)!-1!=(n+1)!-1$$
مثال: ثابت کنید: $$\frac{1}{(1+1)!}+\frac{2}{(2+1)!}+...+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}$$
پاسخ
$$\frac{i}{(i+1)!}=\frac{1}{i!}-\frac{1}{(i+1)!}$$ پس عبارت داده شده برابر است با: $$\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$$ $$=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i!}-\frac{1}{(i+1)!}$$ $$=\frac{1}{1!}-\frac{1}{(n+1)!}$$ $$=1-\frac{1}{(n+1)!}$$
منابع و مراجع
ابزار صفحه
کلیه‌ی حقوق این سایت متعلق به کمیته‌ی ملی المپیاد کامپیوتر ایران است.
