پاسخ قسمت اول، تعداد جایگشت‌های ۶ عنصره است و برابر $6!$ است.

در قسمت دوم، حرف اول باید n باشد و برای تعیین بقیه‌ی حرف‌ها، باید تعداد جایگشت‌های ۵ عنصره را محاسبه کنیم که برابر $5!$ است.

در قسمت سوم، حرف اول ۲ حالت دارد (e یا i باید باشد). برای بقیه‌ی حرف‌ها، باید تعداد جایگشت‌های ۵ عنصره را محاسبه کنیم که برابر $5!$ است.

در قسمت چهارم، کمی باید دیدمان را عوض کنیم. ما در واقع ۴ شیء داریم. هر یک از حروف c, i, l یک شیء هستند و عبارت pen به تنهایی یک شیء است. پس در کل باید تعداد جایگشت‌های ۴ عنصره را محاسبه کنید که برابر $4!$ است.

در قسمت اول، ۹ شیء داریم که باید در یک ردیف قرار بگیرند. پس پاسخ $9!$ است.

در قسمت دوم، پسری که باید در مکان اول قرار گیرد، به ۵ حالت مشخص می‌شود. بقیه ۸ شیء هستند که باید در یک ردیف قرار گیرند. پس طبق اصل ضرب، پاسخ برابر $5\times8!$ است.

در قسمت سوم، ابتدا تمام دخترها با هم را یک شیء در نظر می‌گیریم. به این ترتیب، ۶ شیء (۵ پسر هر کدام یک شیء و دخترها با هم یک شیء) داریم. تعداد روش‌های قرار گرفتن این شیء‌ها کنار هم، $6!$ است. آیا پاسخ تمام شده است؟ خیر. دخترها نیز میان خود ترتیب دارند. دخترها در میان خودشان به $4!$ حالت می‌توانند ترتیب بگیرند. پس طبق اصل ضرب پاسخ برابر $6! \times 4!$ است.

در قسمت چهارم به وضوح افراد باید یک در میان پسر و دختر باشند. پس جایگشت ما به صورت پسر، دختر، پسر، دختر، پسر، دختر، پسر، دختر، پسر خواهد بود. حال که جای دخترها و پسرها مشخص شده است، پسرها در جاهای‌شان به $5!$ حالت و دخترها در جاهای‌شان به $4!$ حالت می‌توانند ترتیب بگیرند. پس پاسخ، برابر $4! \times 5!$ است.

در قسمت آخر، ابتدا پسرها را با هم یک شیء و دخترها را با هم یک شیء در نظر می‌گیریم. این ۲ شء، به $2!$ حالت می‌توانند کنار هم قرار بگیرند. حال پسرها در میان خودشان به $5!$ حالت و دخترها در میان خودشان به $4!$ حالت می‌توانند ترتیب بگیرند. پس پاسخ، برابر $2! \times 5! \times 4!$ است.

جای‌گاه اعداد زوج در مکان‌های زوج است. پس تعداد روش‌های جایگشت دادن آن‌ها، $n!$ است. به همین ترتیب برای اعداد فرد نیز، $n!$ حالت داریم. پس در کل $n!\times{}n!=(n!)^2$ حالت داریم.

ما این مسئله را در اصل ضرب دیده بودیم. می‌خواهیم روشی دیگر ارائه کنیم.

ابتدا $2n$ نفر را به $(2n)!$ حالت جایگشت می‌دهیم. سپس نفر اول و دوم ردیف را در گروه اول، نفر سوم و چهارم ردیف را در گروه دوم و … می‌گذاریم. آیا پاسخ تمام شده است؟ خیر.

توجه کنید در هر تیم، ۲ نفر با یک‌دیگر تفاوتی ندارند؛ در حالی که ما به آن‌ها ترتیب داده‌ایم. پس به ازای هر حالت مسئله، ما $2^n$ حالت را شمرده‌ایم (در هر یک از $n$ تیم، به ۲ نفر جایگشت داده‌ایم). پس باید $(2n)!$ را بر $2^n$ تقسیم کنیم. آیا پاسخ تمام شده است؟ باز هم خیر.

توجه کنید ما به تیم‌ها شماره و ترتیب داده‌ایم در حالی که تیم‌ها با یک‌دیگر تفاوتی ندارند. پس به ازای هر حالت مسئله‌، ما $n!$ حالت را شمرده‌ایم. پس باید در انتها پاسخ را بر $n!$ تقسیم کنیم.

پس پاسخ برابر $\frac{(2n)!}{n! \times 2^n}$ است.