می‌توان مشاهده کرد که تعداد حالات ۵ تا است. کافی است $x_1$ را عددی بین ۱ تا ۵ انتخاب کنید، آنگاه $x_2$ به صورت یکتا انتخاب می‌شود و $x_2 = 6 - x_1$ خواهد بود.

اگر توپ‌ها یکسان نبودند، پاسخ مساله برابر بود با $3^{10}$ زیرا برای هر توپ ۳ حالت داریم که به چه کسی برسد. اما در این مساله، توپ‌ها یکسان هستند. بنابراین تنها چیزی که مهم است، تعداد توپ‌هایی هست که به هر نفر رسیده. اکنون برای هر کدام از این سه نفر، یک متغیر تعریف کنید که نشان دهنده تعداد توپ‌هایی است که به این شخص رسیده.

سپس یک معادله تشکیل دهید که جمع این سه متغیر برابر با تعداد توپ‌ها باشد: $$x_{ali} + x_{sara} + x_{reza} = 10$$

شرطی که باید روی متغیرها بگذاریم، این است که هر کدام از متغیرها باید در اعداد حسابی باشند (اعداد حسابی شامل صفر هستند). پس تعداد جواب‌های معادله فوق، برابر با تعداد حالات مساله ترکیبیاتی ما است. سعی کنید به کمک مبحث تناظر یک به یک این مطلب را اثبات کنید.

از تناظر یک به یک استفاده می‌کنیم. یک مساله جدید تعریف می‌کنیم و سپس نشان می‌دهیم یک تناظر یک به یک بین این مساله و مساله خودمان برقرار است.

مساله جدید: فرض کنید $n$ توپ در یک ردیف قرار دارند. می‌خواهیم $k - 1$ جدا کننده بین توپ‌ها بگذاریم به نحوی که شرایط زیر برقرار باشند:

• بین هر دو تا جداکننده باید حداقل یک توپ باشد.
• جداکننده‌ها نمی‌توانند در ابتدای ردیف و یا انتهای ردیف باشند.

اکنون نشان می‌دهیم یک تناظر یک به یک بین این مساله و مساله تعداد جواب‌های معادله برقرار است. تناظر را به این صورت نشان می‌دهیم که از توپ اول تا آخرین توپی که قبل از جداکننده اول قرار دارد، متناظر با $x_1$ است. تعداد توپ‌هایی که بین جداکننده اول و دوم قرار دارد، بیانگر $x_2$ است و به همین صورت ادامه می‌دهیم. در انتها، تعداد توپ‌هایی که بعد از آخرین جداکننده هست، بیانگر $x_k$ است.

به عنوان مثال، فرض کنید معادله $x_1 + x_2 + x_3 = 6$ داده شده باشد. یک حالت از توضیحات بالا به صورت زیر است:

اکنون توجه داریم که تعداد جایگاه‌های موجود برای جداکننده‌ها برابر است با $n - 1$. از طرفی، تعداد جداکننده‌های مورد نیاز برابر است با $k - 1$ که یکی کمتر از تعداد متغیرها است (زیرا از جداکننده آخر تا انتها نیز یک متغیر می‌شود). پس به دنبال تعداد حالاتی هستیم که بتوان $k - 1$ جایگاه از $n - 1$ جایگاه موجود را انتخاب کرد که تعداد آن برابر است با $\binom{n - 1}{k - 1}$.

برای حل این مساله دو راه وجود دارد:

راه اول:

مانند بالا می‌توان مساله را به توپ‌ها و جداکننده‌ها مدل کرد. تنها تفاوت این است که در این حالت، دو یا چند جداکننده می‌توانند مجاور یکدیگر باشند و هیچ توپی بین آن‌ها نباشد. پس $n$ توپ و $k - 1$ جداکننده داریم و می‌خواهیم آن‌ها را در یک ردیف بچینیم بدون هیچ شرطی. از جایگشت با تکرار می‌دانیم که تعداد حالات برابر است با: $$\binom{n + k - 1}{n} = \binom{n + k - 1}{k - 1}$$

راه دوم:

می‌دانیم می‌توان یک عدد ثابت را به دو طرف معادله اضافه کرد. پس داریم:

$$x_1 + x_2 + ... + x_k = n$$ $$\iff x_1 + x_2 + ... + x_k + k = n + k$$ $$\iff (x_1 + 1) + (x_2 + 1) + ... + (x_k + 1) = n + k$$

اکنون یک سری متغیر جدید $y_i$ تعریف می‌کنیم به طوری که $y_i = x_i + 1$ باشد و معادله را بازنویسی می‌کنیم: $$y_1 + y_2 + ... + y_k = n + k$$

اکنون می‌دانیم $y_i \ge 1$ است چون $y_i$ همان $x_i + 1$ است. پس مساله جدید، همان حالتی است که متغیرها در اعداد طبیعی بودند و لذا تعداد حالات برابر است با: $$\binom{n + k - 1}{n} = \binom{n + k - 1}{k - 1}$$

نشان می‌دهیم تعداد $x_i$هایی که در نامساوی بالا صدق می‌کنند، برابر است با تعداد $y_i$هایی که در معادله خطی زیر صدق می‌کنند: $$y_0 + y_1 + ... + y_{99} = 20$$

که طبق توضیحات بالا برابر است با:

$$\binom{119}{99} = \binom{119}{20}$$

توضیح شهودی:

معنای متغیر $y_i$ این است که برای $i$ ( $0 \le i \le 99$ ) ، چه تعداد عدد $i$ در بین $x_i$ها وجود دارد. از آنجا که تعداد متغیرها ($x_i$ها) برابر با $20$ است، بنابراین مجموع $y_i$ها نیز باید ۲۰ باشد. اکنون اگر بدانیم در بین $x_i$ها، از هر عدد چه تعداد موجود است، کافی است این اعداد را مرتب کنیم و به ترتیب به $x_i$ها نسبت دهیم. این یک پاسخ برای نامساوی صورت سوال به ما می‌دهد.

به عنوان مثال، فرض کنید $y_1 = 10$ و $y_37 = 5$ و $y_99 = 5$ یک پاسخ از معادله‌ی جدید باشد. $x_i$ها به صورت زیر مشخص می‌شوند: $$x_0, ..., x_9 = 10; x_{10}, ..., x_{14} = 37; x_{15}, ..., x_{19} = 99$$ که یک پاسخ از نامساوی صورت سوال را می‌دهد.

نکته: برای اثبات دقیق، باید نشان دهید یک تناظر یک به یک بین هر پاسخ از نامساوی صورت سوال و هر پاسخ از معادله‌ی جدید وجود دارد. به عبارتی، ما فقط نشان دادیم برای هر پاسخ از معادله‌ی جدید تعریف شده، یک پاسخ برای نامساوی صورت سوال یافت می‌شود (به عبارتی با داشتن $y_i$ها، توانستیم $x_i$ها را به صورت یکتا بدست آوریم). برای اینکه اثبات تناظر یک به یک کامل شود، باید نشان دهیم با داشتن $x_i$ها، می‌توان به همان $y_i$ها نیز رسید (که البته اثبات این بخش ساده است).

قرار می‌دهیم $$c_i = a_i + (i + 1)b_i$$ و متناظر می‌کنیم تعداد جواب‌های معادله‌ی فوق را با معادله‌ی حسابی زیر: $$c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 15$$

که با توجه به مطالب پیشین برابر است با: $$\binom{15 + 4 - 1}{3} = \binom{18}{3}$$