فرض کنید n نفر داریم. میخواهیم r تا از آنها را انتخاب کنیم و به آنها جایگشت دهیم. این کار، یک تبدیل r تایی از n نفر به ما میدهد.
تبدیل r از n با نماد Pnr یا P(n,r) نشان میدهیم. حرف P از کلمهی permutation میآید.
میخواهیم فرمولی برای تبدیل r از n یا همان Pnr بیابیم. برای جایگشت r نفرهی خود، r جایگاه در نظر میگیریم. در جایگاه اول، به n طریق یک نفر میتواند قرار بگیرد. در جایگاه دوم، به n−1 طریق، یک نفر میتواند قرار بگیرد. به همین ترتیب تعداد حالتهای جایگاههای بعدی نیز مشخص میشوند. پس: Pnr=n(n−1)(n−2)...(n−r+1) =n(n−1)(n−2)...(n−r+1)×(n−r)×(n−r−1)×...×1(n−r)×(n−r−1)×...×1 پس: Pnr=n!(n−r)!
به ویژه: Pnn=n!0!=n!
مثال: چند عدد ۳ رقمی با ارقام متمایز از ارقام 1,2,...,8 وجود دارد؟
پاسخ
پاسخ برابر انتخاب کردن ۳ رقم از ۸ رقم موجود و جایگشت دادن آنهاست که برابر P83 است.
توجه: ابتدا به اندازهی کافی روی مسئلهها فکر کنید و سپس به پاسخ مراجعه کنید.
مثال: در چند جایگشت <a1,a2,...,a9> از اعداد 1,2,...,9، شرط a1<a2<a3 برقرار است؟
پاسخ
ابتدا اعداد a4,a5,...,a9 را به P96 طریق انتخاب میکنیم و جایگشت میدهیم. ۳ عدد باقیمانده به صورت یکتا از کوچک به بزرگ باید در ۳ مکان باقیمانده قرار بگیرند. پس پاسخ برابر P96×1=9!3! است.
در روشی دیگر میتوان گفت به ازای هر جایگشتی که پاسخ مسئله باشد، ۶ جایگشت خطی از اعداد 1,2,...,9 وجود دارد (با جایگشت دادن a1,a2,a3). پس پاسخ 16 تعداد جایگشتهای ۹ عنصره و برابر 9!6 است.
مثال: ثابت کنید: Pnr=nPn−1r−1
پاسخ
nPn−1r−1=n×(n−1)!((n−1)−(r−1))! $$=\frac{n!}{(n-r)!}=P_r^n$ در بخش دوگانهشماری و اتحادهای ترکیبیاتی، روشهایی بهتر برای اثبات نیز خواهیم یافت.