پیمان و کیوان به همراه دوستانشان به یک اتاق فرار رفته‌اند و در آخرین مرحله باید رمز قفل نهایی را بیابند. پیمان در یکی از مراحل قبلی دو کاغذ پیدا کرده است که دنباله‌های زیر را نمایش می‌دهند.

همچنین روی برگه‌ی کنار قفل نوشته شده است:

«دنباله‌ی $a$ را تا جمله‌ی $n$ و دنباله‌ی $b$ را تا جمله‌ی $m$ حساب کن. پاسخ در جدول $n \times m$ مانند $M$ است که $M_{i,j} = a_i \oplus b_j$ است. اگر به ازای هر زیر مستطیل این جدول حاصل عملگر $or$ بیتی اعداد آن زیر مستطیل را حساب کنی، مجموع این اعداد به ازای همه‌ی زیرمستطیل‌های $M$ رمز را به تو نشان می‌دهد.»

منظور از $M_{i,j}$ خانه‌ی سطر $i$ و ستون $j$ جدول $M$ و $\oplus$ عملگر $xor$ بیتی (یای انحصاری) است. یک زیر مستطیل از $M$ را می‌توان به صورت $(i_1, i_2, j_1, j_2)$ نشان داد که شامل خانه‌هایی مانند $(x, y)$ است که $$1 \leq i_1 \leq x \leq i_2 \leq n \space \& \space 1 \leq j_1 \leq y \leq j_2 \leq m$$

باشد. با پاسخ به سوالات زیر به کیوان، پیمان و دوستانشان کمک کنید تا رمز قفل را کشف کنند و از اتاق فرار خارج شوند.

فرض کنید رمز قفل به ازای مقادیر $n$ و $m$ را با $f(n, m)$ نشان می‌دهیم.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 229939$ محاسبه شده‌اند.

$4$- الف ($11$ نمره) : باقی‌مانده‌ی $f(1, 10^5)$ بر $\Delta$ چند است؟

$4$- ب ($11$ نمره) : باقی‌مانده‌ی $f(1000, 1000)$ بر $\Delta$ چند است؟

$4$- ج ($11$ نمره) : باقی‌مانده‌ی $f(10^5, 10^5)$ بر $\Delta$ چند است؟

• سوال قبل
• سوال بعد