آزمون گواهی‌نامه‌ی کشور پیچ‌پیچ در یک جدول $50 \times 50$ انجام می‌شود. در برخی از خانه‌های این جدول، موانعی قرار داده شده است. یکی از ضلع‌های محیطی جدول برای ورود شرکت‌کننده و یکی دیگر از ضلع‌های محیطی برای خروج او در نظر گرفته شده است. روی سایر ضلع‌های محیطی حصار کشیده شده است. اگر شرکت کننده بتواند از ضلع ورودی وارد جدول شده و بدون برخورد به موانع از ضلع خروجی خارج شود، آزمون را با موفقیت پشت سر می‌گذارد. به انتخاب ضلع ورودی، ضلع خروجی و محل موانع چینش آزمون گفته می‌شود.

هلیا، یکی از اهالی پیچ‌پیچ چندین بار در آزمون شرکت کرده است اما موفق به گذراندن آن نشده است. پس از بررسی‌های فراوان، او به این نتیجه رسیده است که توانایی پیچیدن به راست را ندارد و به همین دلیل در آزمون موفق نمی‌شود. محمد می‌خواهد به هلیا کمک کند. او به هلیا قول داده است که در آزمون بعدی پیش از آزمون وارد جدول شود و برخی از خانه‌ها را علامت بزند تا اگر هلیا صرفا با رسیدن به آن خانه‌ها به سمت چپ بپیچد و در سایر موارد به حرکت مستقیم خود ادامه دهد، به مقصد برسد. در شکل زیر که یک علامت‌گذاری موفق را نشان می‌دهد، خانه‌های سیاه دارای مانع هستند و خانه‌های قرمز توسط محمد علامت زده شده‌اند.

به چینش آزمونی که محمد بتواند به گونه‌ای در آن عمل کند که هلیا با دقيقا $k$ بار پیچیدن به چپ به مقصد برسد، چینش $k$-قرمز می‌گوییم. با توجه به این‌که هلیا مهارت زیادی در پیچیدن به سمت چپ نیز ندارد، محمد می‌خواهد احتمال موفقیت او را تخمین بزند و بنابراین از شما کمک خواسته است تا تعداد چینش‌های $1$-قرمز، $2$-قرمز و $3$-قرمز را بشمارید. به او کمک کنید و به سوالات زیر پاسخ دهید.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 229939$ محاسبه شده‌اند.

$2$- الف ($11$ نمره) : باقی‌مانده‌ی تعداد چینش‌های $1$-قرمز بر $\Delta$ چند است؟

$2$- ب ($11$ نمره) : باقی‌مانده‌ی تعداد چینش‌های $2$-قرمز بر $\Delta$ چند است؟

$2$- ج ($12$ نمره) : باقی‌مانده‌ی تعداد چینش‌های $3$-قرمز بر $\Delta$ چند است؟

• سوال قبل
• سوال بعد