$15$ نفر با شماره‌های $1$ تا $15$، مانند دایره‌ی سمت چپ شکل زیر، با فاصله‌های یکنواخت، به‌ترتیبِ ساعت‌گرد دورِ یک دایره‌ایستاده‌اند تا مراسم ویژه‌ای را اجرا کنند. این مراسم از تعدادی مرحله تشکیل شده است و در هر مرحله‌ی آن، کسی که نوبتش است (با شروع از فردِ شماره‌ی $1$ در نخستین مرحله)، به‌صورت زیر عمل می‌کند:

• اگر تعداد افراد دور دایره زوج باشد، فردی را که در آن مرحله، در جایگاه روبه‌روی قطریِ او در دایره ایستاده است، نشانه گرفته و به او شلیک می‌کند.
• اگر تعداد افراد دور دایره فرد باشد، از دو نفری که در آن مرحله، در جایگاه‌های روبه‌روی قطری‌اش در دایره قرار دارند، یک نفر را به‌تصادف (با احتمال یکسان) نشانه گرفته و به او شلیک می‌کند.

پس از این حرکت، کسی که به او شلیک شده، از دور خارج می‌شود و در ادامه، افراد باقی‌مانده جایگاه‌های خود را مجددا طوری در دایره تنظیم می‌کنند که با فاصله‌های یکنواخت دور آن قرار گرفته باشند. سپس برای مرحله‌ی بعدی، نوبت به کسی می‌رسد که در آن لحظه، بعد از فردِ شلیک‌کننده در دایره (در جهت ساعت‌گرد) قرار دارد. این مراسم تا زمانی ادامه پیدا می‌کند که تنها یک نفر دور دایره باقی مانده باشد. چه افرادی این شانس را دارند که آخرین فردِ باقی‌مانده در پایان مراسم باشند؟

در شکل زیر، مثالی از مراحل ابتداییِ اجرای این مراسم نشان داده شده است. در مرحله‌ی اولِ این مثال، فرد شماره‌ی $1$ از میان افراد با شماره‌های $8$ و $9$ که در جایگاه‌های روبه‌روی قطری او هستند، به‌تصادف، فرد شماره‌ی $8$ را انتخاب، و به او شلیک می‌کند تا از دور خارج شود. در مرحله‌ی بعد، نوبت به شلیک فرد شماره‌ی $2$ می‌رسد، که با توجه به زوج بودن تعداد افراد حاضر، به فرد شماره‌ی $10$ شلیک می‌کند. سپس، نوبت به فرد شماره‌ی $3$ می‌رسد که باید به یکی از افراد با شماره‌های $11$ یا $12$ شلیک کند.

1. $\{2,3,5,6\}$
2. $\{8,9,11,12\}$
3. $\{2,3,4,5,6\}$
4. $\{8,9,10,11,12\}$
5. $\{3,5,6\}$

• سوال بعد
• سوال قبل