گزینه (۲) درست است.

ابتدا سه ناحیه‌ی $1$، $2$ و $3$ را رنگ‌آمیزی می‌کنیم. چون این سه ناحیه دو به دو با هم ضلع مشترک دارند، باید به سه رنگ مختلف رنگ شوند. بنابراین برای رنگ‌آمیزی این سه، $3!$ روش داریم.

بدون از دست دادن کلیت مسئله، فرض کنید ناحیه‌ی $1$ آبی، ناحیه‌ی $2$ قرمز و ناحیه‌ی $3$ سبز باشد.

ناحیه‌ی $5$ می‌تواند یکی از دو رنگ سبز یا آبی باشد. روی رنگ این ناحیه حالت‌بندی می‌کنیم:

• اگر این ناحیه سبز باشد، بقیه‌ی ناحیه‌ها به شکل یکتا مشخص می‌شوند. پس در کل این حالت $1$ روش دارد.
• اگر این ناحیه آبی باشد، ناحیه‌ی $4$ می‌تواند سبز یا قرمز باشد.
  1. اگر ناحیه‌ی $4$ سبز باشد، بقیه‌ی ناحیه‌ها به شکل یکتا مشخص می‌شوند.
  2. اگر ناحیه‌ی $4$ قرمز باشد،‌ ناحیه‌های $6$ و $9$ باید سبز باشند. بنابراین دو ناحیه‌ی $7$ و $8$ باید یا آبی یا قرمز باشند. پس برای رنگ‌آمیزی این دو، $2$ حالت وجود دارد.

اگر خانه‌های $1$ تا $9$ را رنگ‌آمیزی کنیم، سه خانه‌ی $10$، $11$ و $12$ به طور یکتا مشخص می‌شوند. پس در کل $3 \times 2 \times (1 + 2) = 24$ روش وجود دارد.