شنگدباو یک کوالای خوشحال دارد. او سه سکو دور یک دایره با فاصلههای برابر قرار داده است که با شمارههای ۱، ۲ و ۳ در جهت ساعتگرد شمارهگذاری شدهاند. در ابتدا کوالا روی سکوی ۱ قرار دارد. این کوالای خوشحال در هر دقیقه به احتمال $\frac{1}{2}$ به سکوی بعدی در جهت ساعتگرد میپرد، به احتمال $\frac{1}{4}$ به سکوی بعدی در جهت پادساعتگرد میپرد و به احتمال $\frac{1}{4}$ سر جای خود میماند. حالا شنگدباو با خود میاندیشد پس از ۱۳۹۹ دقیقه کوالا در کدام سکو به احتمال بیشتری مینشیند.
پاسخ
گزینه (۱) درست است.
فرض کنید کوالا یک تاس عجیب دارد که هر بار عددی بین ۱ تا ۴ را با احتمال برابر نشان میدهد. او هر دقیقه این تاس را میاندازد و به اندازهی عدد آن تاس، ساعتگرد روی سکوها حرکت میکند. این روش همان احتمالهای مطرح شده در صورت سؤال را تولید میکند(؟). با این روش کوالا ۱۳۹۹ بار تاس میریزد و نهایتا به اندازهی مجموع اعداد تاسها، ساعتگرد روی سکوها حرکت میکند. پس کافیست بین همهی حالات مختلف تاس انداختن، ببینیم در بین مجموع اعداد تاسها کدام باقیماندهی بر ۳ بیشتر تولید میشود.
مسئله معادل میشود با اینکه بین همهی اعداد ۱۳۹۹ رقمی با ارقام ۱ تا ۴، کدام باقیماندهی ۳ بیشتر تولید شده است. حال برای عدد $n$، راستترین رقمی که ۴ نیست را بگیرید. اگر این رقم را به ارقامی غیر از ۴ تغییر دهید، ۲عدد دیگر بدست میآید. این ۳ عدد را با هم در یک دسته بگذارید. با این روش همهی اعداد جز عددی که همهی ارقامش ۴ است دستهبندی میشوند. در هر دسته یکی بر ۳ بخشپذیر است، یکی باقیماندهی ۱ دارد و دیگری باقیماندهی ۲. پس پرتکرارترین باقیمانده، باقیماندهی ۴۴۴۴…۴۴۴ بر ۳ است که برابر ۱ است. در نتیجه احتمال نشستن کوالا روی سکوی ۲ بیشتر از دو سکوی دیگر است.