تعاریف زیر را برای درخت دودویی در نظر بگیرید:
تعریف ۱: یک درخت دودویی متشکل از تعدادی نقاط داخلی وتعدادی نقاط خارجی موسوم به گرهها میباشد. از هر گره داخلی دو گروه منشعب میگردند (گره چپ و گره راست) که با لبههای چپ و راست به آن متصل میشوند. از گرههای خارجی هیچ گرهای منشعب نمیگردد. بطور مثال درخت دودویی زیر را در نظر بگیرید:
گرههای مربع شکل گرههای خارجی و گرههای دایره شکل گرههای داخلی میباشند. گره ۱ موسوم به ریشه درخت میباشد.
تعریف ۲: طول یک مسیر از ریشه درخت B به u یک گره (داخلی یا خارجی) در درخت مساوی تعداد گرهها در مسیر منهای یک است. طول مسیر را با l(u) نشان میدهیم.
در مثال بالا داریم: l(5)=3، l(7)=2 و l(1)=0
الف) فرض کنید B یک درخت دودویی با m گره خارجی u1,…,um باشد.
ثابت کنید: ∑mj=12−l(uj)=1
برای قسمت «ب» قرار دهید:
جمع طول مسیرها از ریشه به همه گرههای خارجی=∑ul(u) = E(B)
جمع طول مسیرها از ریشه به همه گرههای داخلی= ∑ul(u) = I(B)
ب) ثابت کنید: E(B)=I(B)+2n